نبدأ بالمفاهيم الأساسية:

• التكرار — عدد المرات التي تظهر فيها قيمة معينة في البيانات.
• التكرار النسبي — التكرار مقسومًا على إجمالي عدد المشاهدات، \( \frac{f_i}{n} \). يُبيّن أي نسبة من البيانات تمثّلها كل قيمة، ويُعرض عادةً كسرًا عشريًا أو نسبة مئوية.
• التوزيع التكراري — الجدول الكامل الذي يُظهر كل قيمة (أو نطاق) مقابل تكرارها.

يُحدّد نوع البيانات الرسم البياني المناسب:

• البيانات المنفصلة (الإحصائية) — قيم قابلة للعد (عدد الأشقاء، عدد الكتب). تناسب الرسم العمودي — أعمدة منفصلة لا تتلامس، لأنه لا توجد قيم بينية (لا يوجد 2.5 أشقاء).
• البيانات المستمرة — قيم ضمن نطاق، تُقاس (الطول، الزمن، الوزن). تناسب المدرج التكراري — أعمدة متلاصقة تعكس الاستمرارية.

عند وجود قيم مختلفة كثيرة نجمعها في فئات (نطاقات) كـ60–69، 70–79. في المدرج التكراري يمثّل ارتفاع العمود التكرار في كل نطاق.

مثال 1: بناء التكرار من قائمة بيانات

السؤال: عدد الحيوانات الأليفة لدى 10 طلاب: 0، 1، 1، 2، 0، 3، 1، 2، 1، 0. ما تكرار القيمة 1؟

الحل:

1. نعلّم ونعدّ كم مرة تظهر كل قيمة.
2. القيمة 1 تظهر لدى الطلاب: 1، 1، 1، 1 — أربع مرات في المجموع.
3. إذن تكرار القيمة 1 هو 4.

الإجابة: تكرار القيمة 1 هو \( 4 \).

مثال 2: جدول تكرار كامل والتحقق من المجموع

السؤال: في الفصل سُئل الطلاب عن عدد أشقائهم. البيانات: 0، 2، 1، 1، 3، 2، 0، 1، 2، 1، 4، 1. ابنِ جدول التكرار وتحقق منه.

الحل:

1. القيم الممكنة: 0، 1، 2، 3، 4. نعدّ كلًّا منها.
2. 0 تظهر مرتين؛ 1 تظهر خمس مرات؛ 2 تظهر ثلاث مرات؛ 3 تظهر مرة واحدة؛ 4 تظهر مرة واحدة.

3. عدد الأشقاء	التكرار
   0	2
   1	5
   2	3
   3	1
   4	1

4. التحقق: \( 2 + 5 + 3 + 1 + 1 = 12 \)، وهو بالضبط عدد الطلاب — الجدول صحيح.
5. عدد الأشقاء الأكثر تكرارًا هو 1 (تكرار 5).

الإجابة: الجدول صحيح (مجموع التكرارات 12)، والقيمة الأكثر تكرارًا هي \( 1 \).

مثال 3: تحديد القيمة الأكثر تكرارًا من جدول معطى

السؤال: جدول تكرار الدرجات: 50←4، 60←6، 70←11، 80←5. أيّ درجة هي الأكثر تكرارًا، وكم طالبًا اختُبر؟

الحل:

1. القيمة الأكثر تكرارًا هي ذات التكرار الأعلى.
2. التكرارات هي 4، 6، 11، 5 — الأعلى هو 11، وهو للدرجة 70.
3. عدد الطلاب هو مجموع التكرارات: \( 4 + 6 + 11 + 5 = 26 \).

الإجابة: الدرجة الأكثر تكرارًا هي \( 70 \)، واختُبر \( 26 \) طالبًا.

مثال 4: التكرار النسبي

السؤال: في عينة من 40 أسرة، تمتلك 10 منها سيارة واحدة. ما التكرار النسبي لـ"سيارة واحدة"؟

الحل:

1. التكرار النسبي هو التكرار مقسومًا على إجمالي المشاهدات: \( \frac{f}{n} = \frac{10}{40} \).
2. \( \frac{10}{40} = \frac{1}{4} = 0.25 \).
3. بالنسبة المئوية: \( 0.25 \times 100 = 25\% \).

الإجابة: التكرار النسبي هو \( 0.25 \)، أي \( 25\% \).

مثال 5: اختيار الرسم البياني المناسب

السؤال: جمعت معلمة أوقات الجري (بالثواني) لـ50 طالبًا في سباق 100 متر. هل يُفضَّل الرسم العمودي أم المدرج التكراري، ولماذا؟

الحل:

1. نحدد نوع البيانات: الوقت كمية مستمرة يمكن أن تأخذ أي قيمة ضمن نطاق (12.3 ثانية، 12.31 ثانية...).
2. إذن هذه بيانات مستمرة وليست قيمًا منفصلة تُعدّ.
3. البيانات المستمرة تُجمَّع في نطاقات (مثل 12–13، 13–14 ثانية) وتُعرض بالمدرج التكراري حيث الأعمدة متلاصقة لتعكس الاستمرارية.
4. الرسم العمودي في المقابل يناسب البيانات المنفصلة ذات الفجوات بين القيم.

الإجابة: يُفضَّل المدرج التكراري، لأن وقت الجري بيانات مستمرة.

✗ خطأ شائع: الخلط بين القيمة وتكرارها — عند السؤال عن "الأكثر تكرارًا" يُجاب بالتكرار الأعلى بدلًا من القيمة نفسها.

✓ الطريقة الصحيحة: "الأكثر تكرارًا" هو القيمة التي تظهر أكبر عدد من المرات، لا عدد المرات ذاته. إذا ظهرت 70 إحدى عشرة مرة، فالجواب 70 لا 11.

✗ خطأ شائع: رسم مدرج تكراري للبيانات المنفصلة (كعدد الأشقاء) بأعمدة متلاصقة.

✓ الطريقة الصحيحة: البيانات المنفصلة تستوجب رسمًا عموديًا بأعمدة منفصلة. الفراغ بين الأعمدة يُؤكد أنه لا توجد قيم بينية — لا معنى لـ2.5 شقيق.

✗ خطأ شائع: تجميع البيانات في نطاقات متداخلة، مثل 60–70 و70–80، مع غموض انتماء القيمة 70.

✓ الطريقة الصحيحة: حدّد نطاقات غير متداخلة كـ60–69 و70–79، أو ضع قاعدة واضحة ("الحد الأعلى ينتمي للنطاق التالي"). يجب أن تقع كل مشاهدة في نطاق واحد بالضبط.

• التكرار = عدد مرات ظهور القيمة؛ التكرار النسبي \( = \frac{f_i}{n} \).
• مجموع جميع التكرارات يساوي دائمًا إجمالي المشاهدات \( n \).
• منفصل (نعدّ) ← رسم عمودي (أعمدة منفصلة).
• مستمر (نقيس) ← مدرج تكراري (أعمدة متلاصقة).
• ارتفاع العمود = التكرار في تلك القيمة أو النطاق.