Practice Determining Even or Odd Functions
Explicación paso a paso, ejemplos resueltos y práctica ilimitada.
📖 Pre-análisis - paridad e imparidad de funciones reales
Pre-análisis
Paridad e imparidad de funciones
🔍 ¿Por qué es importante?
Cuando una función es par o impar, tiene una simetría especial.
Esto nos permite:
- Dibujar solo la mitad del gráfico y completar el resto
- Simplificar cálculos (especialmente en integrales)
- Comprender mejor el comportamiento de la función
🪞 Función par (Even Function)
\(f(-x) = f(x)\)
El valor de la función en x es igual al valor en (-x)
🔑 Significado geométrico:
El gráfico es simétrico respecto al eje Y
Si plegamos el gráfico a lo largo del eje Y, las dos partes coinciden exactamente
📚 Ejemplos de funciones pares:
| Función | Comprobación |
|---|---|
| \(f(x) = x^2\) | \(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\) ✓ |
| \(f(x) = x^4\) | \(f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x)\) ✓ |
| \(f(x) = |x|\) | \(f(-x) = |-x| = |x| = f(x)\) ✓ |
| \(f(x) = \cos(x)\) | \(f(-x) = \cos(-x) = \cos(x) = f(x)\) ✓ |
| \(f(x) = x^2 + 3\) | \(f(-x) = (-x)^2 + 3 = x^2 + 3 = f(x)\) ✓ |
💡 Regla práctica: las potencias pares de x (como x², x⁴, x⁶...) son funciones pares.
🔄 Función impar (Odd Function)
\(f(-x) = -f(x)\)
El valor de la función en (-x) es el opuesto del valor en x
🔑 Significado geométrico:
El gráfico es simétrico respecto al origen (0,0)
Si giramos el gráfico 180° alrededor del origen, queda igual
📚 Ejemplos de funciones impares:
| Función | Comprobación |
|---|---|
| \(f(x) = x\) | \(f(-x) = -x = -f(x)\) ✓ |
| \(f(x) = x^3\) | \(f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)\) ✓ |
| \(f(x) = x^5\) | \(f(-x) = (-x)^5 = -x^5 = -f(x)\) ✓ |
| \(f(x) = \sin(x)\) | \(f(-x) = \sin(-x) = -\sin(x) = -f(x)\) ✓ |
| \(f(x) = \frac{1}{x}\) | \(f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)\) ✓ |
💡 Regla práctica: las potencias impares de x (como x, x³, x⁵...) son funciones impares.
⚠️ Propiedad especial: si una función impar está definida en x=0, entonces:
\(f(0) = 0\)
porque: \(f(-0) = -f(0)\) → \(f(0) = -f(0)\) → \(2f(0) = 0\)
🔬 ¿Cómo comprobar la paridad/imparidad?
Paso 1: calcula \(f(-x)\)
Sustituye (-x) en lugar de x en cada aparición de la función
Paso 2: compara el resultado
- Si \(f(-x) = f(x)\) → función par
- Si \(f(-x) = -f(x)\) → función impar
- Si no es ninguno de los dos → ni par ni impar
✏️ Ejemplos detallados
Ejemplo 1: comprueba si \(f(x) = x^4 - 3x^2 + 1\) es par o impar
Solución:
\(f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1\)
\(= x^4 - 3x^2 + 1\)
\(= f(x)\)
✓ La función es par
Ejemplo 2: comprueba si \(f(x) = x^3 - 2x\) es par o impar
Solución:
\(f(-x) = (-x)^3 - 2(-x)\)
\(= -x^3 + 2x\)
\(= -(x^3 - 2x)\)
\(= -f(x)\)
✓ La función es impar
Ejemplo 3: comprueba si \(f(x) = x^2 + x\) es par o impar
Solución:
\(f(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x\)
Comprobamos:
\(f(x) = x^2 + x\) → \(f(-x) \neq f(x)\)
\(-f(x) = -x^2 - x\) → \(f(-x) \neq -f(x)\)
✗ La función no es ni par ni impar
⚖️ Tabla comparativa
| Función par | Función impar | |
|---|---|---|
| Definición | \(f(-x) = f(x)\) | \(f(-x) = -f(x)\) |
| Simetría | respecto al eje Y | respecto al origen (0,0) |
| Ejemplos | \(x^2, x^4, |x|, \cos x\) | \(x, x^3, x^5, \sin x\) |
| Potencias | potencias pares (2, 4, 6...) | potencias impares (1, 3, 5...) |
| f(0) | puede ser cualquier valor | debe ser 0 (si está definida) |
🧮 Otras propiedades
- Suma de pares: par + par = par
- Suma de impares: impar + impar = impar
- Producto de pares: par × par = par
- Producto de impares: impar × impar = par
- Producto mixto: par × impar = impar
💡 La única función que es a la vez par e impar:
\(f(x) = 0\)
📝 Resumen
Par: \(f(-x) = f(x)\) → simetría respecto al eje Y
Impar: \(f(-x) = -f(x)\) → simetría respecto al origen
Potencia par → función par | potencia impar → función impar
Ejemplos Resueltos
Dada la función \(f(x)=x^2\). Debes determinar si la función es par, impar, o ni par ni impar.
Pista: sustituye \(-x\) por \(x\) y compara \(f(-x)\), \(f(x)\) y \(-f(x)\).
Mostrar solución
La función es par.
✓ CorrectoLa función es impar.
La función no es par ni impar.
No se puede determinar.
Prueba: calculamos \(f(-x)\) y comparamos con \(f(x)\) y \(-f(x)\).
\(f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)\)
\(f(-x)=f(x)\) → función par. Gráfica simétrica respecto al eje \(y\) ✅
Recordatorio: si \(f(-x)=f(x)\) → par; si \(f(-x)=-f(x)\) → impar.
Dada la función \(f(x)=x^3\). Determina si la función es par, impar, o ni par ni impar.
Mostrar solución
La función es impar.
✓ CorrectoLa función es par.
La función no es par ni impar.
No hay información suficiente.
Prueba: calculamos \(f(-x)\) y comparamos con \(f(x)\) y \(-f(x)\).
\(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\)
\(f(-x)=-f(x)\) → impar. Gráfica simétrica respecto al origen ✅
Recordatorio: si \(f(-x)=f(x)\) → par; si \(f(-x)=-f(x)\) → impar.
Dada la función \(f(x)=x^2+3\). Determina si la función es par, impar, o ni par ni impar.
Mostrar solución
La función es par.
✓ CorrectoLa función es impar.
La función no es par ni impar.
No se puede determinar.
Prueba: calculamos \(f(-x)\) y comparamos con \(f(x)\) y \(-f(x)\).
\(f(-x)=(-x)^2+3=x^2+3=f(x)\)
→ par ✅
Recordatorio: si \(f(-x)=f(x)\) → par; si \(f(-x)=-f(x)\) → impar.
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