📖 Pré-analyse - parité et imparité des fonctions réelles

Pré-analyse

Parité et imparité des fonctions

🔍 Pourquoi est-ce important ?

Quand une fonction est paire ou impaire, elle a une symétrie particulière.

Cela nous permet :

Dessiner seulement la moitié du graphe et compléter le reste
Simplifier les calculs (surtout en intégrales)
Mieux comprendre le comportement de la fonction

🪞 Fonction paire (Even Function)

\(f(-x) = f(x)\)

La valeur de la fonction en x est égale à la valeur en (-x)

🔑 Signification géométrique :

Le graphe est symétrique par rapport à l'axe Y

Si on plie le graphe le long de l'axe Y, les deux parties coïncident exactement

📚 Exemples de fonctions paires :

Fonction	Vérification
\(f(x) = x^2\)	\(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\) ✓
\(f(x) = x^4\)	\(f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x)\) ✓
\(f(x) = \|x\|\)	\(f(-x) = \|-x\| = \|x\| = f(x)\) ✓
\(f(x) = \cos(x)\)	\(f(-x) = \cos(-x) = \cos(x) = f(x)\) ✓
\(f(x) = x^2 + 3\)	\(f(-x) = (-x)^2 + 3 = x^2 + 3 = f(x)\) ✓

💡 Règle pratique : les puissances paires de x (comme x², x⁴, x⁶...) sont des fonctions paires.

🔄 Fonction impaire (Odd Function)

\(f(-x) = -f(x)\)

La valeur de la fonction en (-x) est l'opposé de la valeur en x

🔑 Signification géométrique :

Le graphe est symétrique par rapport à l'origine (0,0)

Si on fait pivoter le graphe de 180° autour de l'origine, il reste identique

📚 Exemples de fonctions impaires :

Fonction	Vérification
\(f(x) = x\)	\(f(-x) = -x = -f(x)\) ✓
\(f(x) = x^3\)	\(f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)\) ✓
\(f(x) = x^5\)	\(f(-x) = (-x)^5 = -x^5 = -f(x)\) ✓
\(f(x) = \sin(x)\)	\(f(-x) = \sin(-x) = -\sin(x) = -f(x)\) ✓
\(f(x) = \frac{1}{x}\)	\(f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)\) ✓

💡 Règle pratique : les puissances impaires de x (comme x, x³, x⁵...) sont des fonctions impaires.

⚠️ Propriété spéciale : si une fonction impaire est définie en x=0, alors :

\(f(0) = 0\)

car : \(f(-0) = -f(0)\) → \(f(0) = -f(0)\) → \(2f(0) = 0\)

🔬 Comment vérifier la parité/imparité ?

Étape 1 : calcule \(f(-x)\)

Substitue (-x) à la place de x partout dans la fonction

Étape 2 : compare le résultat

Si \(f(-x) = f(x)\) → fonction paire
Si \(f(-x) = -f(x)\) → fonction impaire
Si ce n'est ni l'un ni l'autre → ni paire ni impaire

✏️ Exemples détaillés

Exemple 1 : vérifie si \(f(x) = x^4 - 3x^2 + 1\) est paire ou impaire

Solution :

\(f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1\)

\(= x^4 - 3x^2 + 1\)

\(= f(x)\)

✓ La fonction est paire

Exemple 2 : vérifie si \(f(x) = x^3 - 2x\) est paire ou impaire

Solution :

\(f(-x) = (-x)^3 - 2(-x)\)

\(= -x^3 + 2x\)

\(= -(x^3 - 2x)\)

\(= -f(x)\)

✓ La fonction est impaire

Exemple 3 : vérifie si \(f(x) = x^2 + x\) est paire ou impaire

Solution :

\(f(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x\)

On vérifie :

\(f(x) = x^2 + x\) → \(f(-x) \neq f(x)\)

\(-f(x) = -x^2 - x\) → \(f(-x) \neq -f(x)\)

✗ La fonction n'est ni paire ni impaire

⚖️ Tableau comparatif

	Fonction paire	Fonction impaire
Définition	\(f(-x) = f(x)\)	\(f(-x) = -f(x)\)
Symétrie	par rapport à l'axe Y	par rapport à l'origine (0,0)
Exemples	\(x^2, x^4, \|x\|, \cos x\)	\(x, x^3, x^5, \sin x\)
Puissances	puissances paires (2, 4, 6...)	puissances impaires (1, 3, 5...)
f(0)	peut être n'importe quelle valeur	doit être 0 (si elle est définie)

🧮 Autres propriétés

Somme de paires : paire + paire = paire
Somme d'impaires : impaire + impaire = impaire
Produit de paires : paire × paire = paire
Produit d'impaires : impaire × impaire = paire
Produit mixte : paire × impaire = impaire

💡 La seule fonction qui est à la fois paire et impaire :

\(f(x) = 0\)

📝 Résumé

Paire : \(f(-x) = f(x)\) → symétrie par rapport à l'axe Y

Impaire : \(f(-x) = -f(x)\) → symétrie par rapport à l'origine

Puissance paire → fonction paire | puissance impaire → fonction impaire

Exemples Résolus

Soit la fonction \(f(x)=x^2\). Tu dois déterminer si la fonction est paire, impaire ou ni paire ni impaire.
Indice : substitue \(-x\) à \(x\) et compare \(f(-x)\), \(f(x)\) et \(-f(x)\).

Afficher la solution

La fonction est paire.

✓ Correct

La fonction est impaire.

La fonction n'est ni paire ni impaire.

On ne peut pas déterminer.

Test : on calcule \(f(-x)\) et on compare avec \(f(x)\) et \(-f(x)\).
\(f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)\)
\(f(-x)=f(x)\) → fonction paire. Graphique symétrique par rapport à l'axe \(y\) ✅
Rappel : si \(f(-x)=f(x)\) → paire ; si \(f(-x)=-f(x)\) → impaire.

Soit la fonction \(f(x)=x^3\). Détermine si la fonction est paire, impaire ou ni paire ni impaire.

Afficher la solution

La fonction est impaire.

✓ Correct

La fonction est paire.

La fonction n'est ni paire ni impaire.

Il n'y a pas assez d'informations.

Test : on calcule \(f(-x)\) et on compare avec \(f(x)\) et \(-f(x)\).
\(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\)
\(f(-x)=-f(x)\) → impaire. Graphique symétrique par rapport à l'origine ✅
Rappel : si \(f(-x)=f(x)\) → paire ; si \(f(-x)=-f(x)\) → impaire.

Soit la fonction \(f(x)=x^2+3\). Détermine si la fonction est paire, impaire ou ni paire ni impaire.

Afficher la solution

La fonction est paire.

✓ Correct

La fonction est impaire.

La fonction n'est ni paire ni impaire.

On ne peut pas déterminer.

Test : on calcule \(f(-x)\) et on compare avec \(f(x)\) et \(-f(x)\).
\(f(-x)=(-x)^2+3=x^2+3=f(x)\)
→ paire ✅
Rappel : si \(f(-x)=f(x)\) → paire ; si \(f(-x)=-f(x)\) → impaire.

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