📖 قبل التفاضل والتكامل – الدوال الزوجية والفردية | الصف 11

ما قبل التفاضل والتكامل

الدوال الزوجية والفردية

🔍 لماذا هذا مهم؟

حين تكون الدالة زوجية أو فردية يكون لها تناظر خاص.

يتيح لنا ذلك:

رسم نصف الرسم البياني فقط وإكمال الباقي
تبسيط الحسابات (خاصة في التكاملات)
فهم أعمق لسلوك الدالة

🪞 الدالة الزوجية (Even Function)

\(f(-x) = f(x)\)

قيمة الدالة عند x تساوي قيمتها عند (-x)

المعنى الهندسي:

الرسم البياني متماثل بالنسبة لمحور y

📚 أمثلة على دوال زوجية:

الدالة	التحقق
\(f(x) = x^2\)	\(f(-x) = x^2 = f(x)\) ✓
\(f(x) = x^4\)	\(f(-x) = x^4 = f(x)\) ✓
\(f(x) = \|x\|\)	\(f(-x) = \|-x\| = \|x\| = f(x)\) ✓
\(f(x) = x^2 + 3\)	\(f(-x) = x^2 + 3 = f(x)\) ✓

💡 قاعدة عامة: القوى الزوجية لـ x (كـ x²، x⁴، x⁶...) تُعطي دوالاً زوجية!

🔄 الدالة الفردية (Odd Function)

\(f(-x) = -f(x)\)

قيمة الدالة عند (-x) هي معاكس قيمتها عند x

المعنى الهندسي:

الرسم البياني متماثل بالنسبة لنقطة الأصل (0،0)

📚 أمثلة على دوال فردية:

الدالة	التحقق
\(f(x) = x\)	\(f(-x) = -x = -f(x)\) ✓
\(f(x) = x^3\)	\(f(-x) = -x^3 = -f(x)\) ✓
\(f(x) = \frac{1}{x}\)	\(f(-x) = -\frac{1}{x} = -f(x)\) ✓

💡 قاعدة عامة: القوى الفردية لـ x (كـ x، x³، x⁵...) تُعطي دوالاً فردية!

⚠️ خاصية مهمة: إذا كانت الدالة الفردية معرّفة عند x=0، فإن:

\(f(0) = 0\)

🔬 كيف نختبر الزوجية أو الفردية؟

الخطوة 1: احسب \(f(-x)\)

عوّض (-x) بدلاً من x في كل مكان

الخطوة 2: قارن النتيجة

إذا \(f(-x) = f(x)\) → زوجية
إذا \(f(-x) = -f(x)\) → فردية
إذا لم ينطبق أيٌّ منهما → ليست زوجية ولا فردية

✏️ أمثلة مفصّلة

مثال 1: هل \(f(x) = x^4 - 3x^2 + 1\) زوجية أم فردية؟

\(f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = x^4 - 3x^2 + 1 = f(x)\)

✓ الدالة زوجية

مثال 2: هل \(f(x) = x^3 - 2x\) زوجية أم فردية؟

\(f(-x) = -x^3 + 2x = -(x^3 - 2x) = -f(x)\)

✓ الدالة فردية

مثال 3: هل \(f(x) = x^2 + x\) زوجية أم فردية؟

\(f(-x) = x^2 - x\)

\(f(-x) \neq f(x)\) (ليست زوجية)

\(f(-x) \neq -f(x)\) (ليست فردية)

✗ الدالة ليست زوجية ولا فردية

⚖️ جدول المقارنة

	دالة زوجية	دالة فردية
التعريف	\(f(-x) = f(x)\)	\(f(-x) = -f(x)\)
التناظر	بالنسبة لمحور y	بالنسبة لنقطة الأصل
أمثلة	\(x^2, x^4, \|x\|\)	\(x, x^3, x^5\)
القوى	زوجية (2، 4، 6...)	فردية (1، 3، 5...)
f(0)	أي قيمة	يجب أن يساوي 0

🧮 خصائص إضافية

زوجية + زوجية = زوجية
فردية + فردية = فردية
زوجية × زوجية = زوجية
فردية × فردية = زوجية
زوجية × فردية = فردية

💡 الدالة الوحيدة التي هي زوجية وفردية معاً:

\(f(x) = 0\)

📝 الملخص

زوجية: \(f(-x) = f(x)\) → تناظر بالنسبة لمحور y

فردية: \(f(-x) = -f(x)\) → تناظر بالنسبة للأصل

قوة زوجية → دالة زوجية | قوة فردية → دالة فردية

أمثلة محلولة

معطى \(x^2\). Is the دالة even, odd, or neither?

عرض الحل

الدالة is even.

✓ صحيح

Odd

Neither

لا يمكن التحديد

نحسب: \(f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)\) ← الدالة زوجية.

معطى \(x^3\). Is the دالة even, odd, or neither?

عرض الحل

الدالة is odd.

✓ صحيح

Even

Neither

لا يمكن التحديد

نحسب: \(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\) ← الدالة فردية.

معطى \(x^2+3\). Is the دالة even, odd, or neither?

عرض الحل

الدالة is even.

✓ صحيح

Odd

Neither

لا يمكن التحديد

نحسب: \(f(-x)=(-x)^2+3=x^2+3=f(x)\) ← الدالة زوجية.

تمرّن الآن

جرّب مسألة — أسئلة غير محدودة وتغذية راجعة فورية.

اضغط أنشئ تمرينًا للبدء.