📖 预备分析 - 函数的奇偶性

预备分析

函数的奇偶性

🔍 为什么重要?

当函数是偶函数或奇函数时,它具有特殊的对称性。

这让我们可以:

只画一半图象就可以完整勾画
简化计算(尤其是积分)
更好地理解函数的行为

🪞 偶函数(Even Function)

\(f(-x) = f(x)\)

函数在 x 处的值等于在 (-x) 处的值

🔑 几何意义:

图象关于 Y 轴对称

如果沿着 Y 轴折叠图象,两部分完全重合

📚 偶函数的例子:

函数	判别
\(f(x) = x^2\)	\(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\) ✓
\(f(x) = x^4\)	\(f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x)\) ✓
\(f(x) = \|x\|\)	\(f(-x) = \|-x\| = \|x\| = f(x)\) ✓
\(f(x) = \cos(x)\)	\(f(-x) = \cos(-x) = \cos(x) = f(x)\) ✓
\(f(x) = x^2 + 3\)	\(f(-x) = (-x)^2 + 3 = x^2 + 3 = f(x)\) ✓

💡 经验法则:x 的偶次幂(如 x²、x⁴、x⁶...)是偶函数!

🔄 奇函数(Odd Function)

\(f(-x) = -f(x)\)

函数在 (-x) 处的值是在 x 处值的相反数

🔑 几何意义:

图象关于原点(0,0)对称

如果将图象绕原点旋转 180°,它与自身重合

📚 奇函数的例子:

函数	判别
\(f(x) = x\)	\(f(-x) = -x = -f(x)\) ✓
\(f(x) = x^3\)	\(f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)\) ✓
\(f(x) = x^5\)	\(f(-x) = (-x)^5 = -x^5 = -f(x)\) ✓
\(f(x) = \sin(x)\)	\(f(-x) = \sin(-x) = -\sin(x) = -f(x)\) ✓
\(f(x) = \frac{1}{x}\)	\(f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)\) ✓

💡 经验法则:x 的奇次幂(如 x、x³、x⁵...)是奇函数!

⚠️ 特殊性质:如果奇函数在 x=0 处有定义,则:

\(f(0) = 0\)

因为:\(f(-0) = -f(0)\) → \(f(0) = -f(0)\) → \(2f(0) = 0\)

🔬 如何判别奇偶性?

步骤 1:计算 \(f(-x)\)

在函数中所有 x 处都代入 (-x)

步骤 2:比较结果

若 \(f(-x) = f(x)\) → 偶函数
若 \(f(-x) = -f(x)\) → 奇函数
若两者都不是 → 非奇非偶

✏️ 详细例子

例 1:判别 \(f(x) = x^4 - 3x^2 + 1\) 的奇偶性

解:

\(f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1\)

\(= x^4 - 3x^2 + 1\)

\(= f(x)\)

✓ 该函数为偶函数

例 2:判别 \(f(x) = x^3 - 2x\) 的奇偶性

解:

\(f(-x) = (-x)^3 - 2(-x)\)

\(= -x^3 + 2x\)

\(= -(x^3 - 2x)\)

\(= -f(x)\)

✓ 该函数为奇函数

例 3:判别 \(f(x) = x^2 + x\) 的奇偶性

解:

\(f(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x\)

检验:

\(f(x) = x^2 + x\) → \(f(-x) \neq f(x)\)

\(-f(x) = -x^2 - x\) → \(f(-x) \neq -f(x)\)

✗ 该函数非奇非偶

⚖️ 对比表

	偶函数	奇函数
定义	\(f(-x) = f(x)\)	\(f(-x) = -f(x)\)
对称性	关于 Y 轴对称	关于原点(0,0)对称
例子	\(x^2, x^4, \|x\|, \cos x\)	\(x, x^3, x^5, \sin x\)
幂次	偶次幂(2、4、6...)	奇次幂(1、3、5...)
f(0)	可以是任何值	必须为 0(如果有定义)

🧮 其他性质

偶函数之和:偶 + 偶 = 偶
奇函数之和:奇 + 奇 = 奇
偶函数之积:偶 × 偶 = 偶
奇函数之积:奇 × 奇 = 偶
混合积:偶 × 奇 = 奇

💡 唯一既是偶函数又是奇函数的函数:

\(f(x) = 0\)

📝 总结

偶函数:\(f(-x) = f(x)\) → 关于 Y 轴对称

奇函数:\(f(-x) = -f(x)\) → 关于原点对称

偶次幂 → 偶函数 | 奇次幂 → 奇函数

例题演示

给定函数 \(f(x)=x^2\)。判断函数是偶函数、奇函数,还是非奇非偶。
提示: 用 \(-x\) 代替 \(x\),比较 \(f(-x)\)、\(f(x)\) 和 \(-f(x)\)。

显示解答

函数是偶函数。

✓ 正确

函数是奇函数。

函数既不是偶函数也不是奇函数。

无法确定。

测试: 计算 \(f(-x)\) 并与 \(f(x)\) 和 \(-f(x)\) 比较。
\(f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)\)
\(f(-x)=f(x)\) → 偶函数。图像关于 \(y\) 轴对称 ✅
提醒: 若 \(f(-x)=f(x)\) → 偶;若 \(f(-x)=-f(x)\) → 奇。

给定函数 \(f(x)=x^3\)。判断函数是偶函数、奇函数,还是非奇非偶。

显示解答

函数是奇函数。

✓ 正确

函数是偶函数。

函数既不是偶函数也不是奇函数。

信息不足。

测试: 计算 \(f(-x)\) 并与 \(f(x)\) 和 \(-f(x)\) 比较。
\(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\)
\(f(-x)=-f(x)\) → 奇函数。图像关于原点对称 ✅
提醒: 若 \(f(-x)=f(x)\) → 偶;若 \(f(-x)=-f(x)\) → 奇。

给定函数 \(f(x)=x^2+3\)。判断函数是偶函数、奇函数,还是非奇非偶。

显示解答

函数是偶函数。

✓ 正确

函数是奇函数。

函数既不是偶函数也不是奇函数。

无法确定。

测试: 计算 \(f(-x)\) 并与 \(f(x)\) 和 \(-f(x)\) 比较。
\(f(-x)=(-x)^2+3=x^2+3=f(x)\)
→ 偶函数 ✅
提醒: 若 \(f(-x)=f(x)\) → 偶;若 \(f(-x)=-f(x)\) → 奇。

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