Estadística: transformación lineal - media y desviación típica

📐 Transformación lineal

¿Qué ocurre con la media y la desviación típica al sumar una constante o multiplicar por una constante?

🎯 ¿Por qué es importante?

Una transformación lineal es un cambio que se aplica a todos los valores de los datos de la misma forma. Por ejemplo:

  • Añadir bonificación: cada empleado recibió un incremento de $500 en el sueldo
  • Cambio de divisa: todas las cantidades se convirtieron de una moneda a otra (multiplicar por 3.6)
  • Conversión de temperatura: de Celsius a Fahrenheit: \(F = 1.8C + 32\)
  • Ajuste de notas: el profesor sumó 5 puntos a cada alumno

La pregunta clave: ¿cómo afecta este cambio a la media, la mediana, la desviación típica y la varianza?

📚 Definición: ¿qué es una transformación lineal?

Si los datos originales son \(x_1, x_2, \ldots, x_n\)

Los nuevos datos: \(y_i = a + b \cdot x_i\)

Símbolo Significado Ejemplo
a constante que se suma (traslación) +$500 de bonificación, +5 puntos
b constante que multiplica (cambio de escala) ×3.6 (cambio de divisa→), ×1.8 (Celsius→Fahrenheit)

💡 Casos particulares importantes:

  • si \(b = 1\): solo se suma una constante → \(y = a + x\)
  • si \(a = 0\): solo se multiplica por una constante → \(y = b \cdot x\)

⭐ La regla central: fórmulas de la transformación

si \(y = a + b \cdot x\), entonces:

Medida Fórmula En palabras
Media \(\bar{y} = a + b \cdot \bar{x}\) depende de a y de b
Mediana \(Me_y = a + b \cdot Me_x\) depende de a y de b
Desviación típica \(s_y = |b| \cdot s_x\) ¡solo depende de |b|, no de a!
Varianza \(s_y^2 = b^2 \cdot s_x^2\) ¡solo depende de b², no de a!

⚠️ La regla más importante para recordar:

¡Sumar una constante (a) no cambia la dispersión!

La desviación típica y la varianza no se ven afectadas al sumar una constante

🧠 ¿Por qué sumar una constante no cambia la dispersión?

Pensemos en ello de forma sencilla:

Imagina un grupo de 5 personas de pie en una fila.

Si todas saltan 3 metros a la derecha — ¡la distancia entre cualquier par no cambia!

Todas se movieron la misma cantidad, así que la dispersión sigue igual.

Antes del desplazamiento:

📍2 📍5 📍8 📍11 📍14

media = 8, desv. típica = 4.47

Tras +10 a todos:

📍12 📍15 📍18 📍21 📍24

media = 18, desv. típica = 4.47 ✅

En cambio, al multiplicar por una constante — ¡las distancias entre las personas crecen!

Antes de la multiplicación:

📍2 📍5 📍8 📍11 📍14

media = 8, desv. típica = 4.47

Tras ×3 a todos:

📍6 📍15 📍24 📍33 📍42

media = 24, desv. típica = 13.42 (= 3 × 4.47)

📝 Ejemplo 1: sumar 5 puntos a cada nota

Notas originales: 70, 80, 90, 60, 100

La transformación: \(y = 5 + x\) (es decir: \(a = 5, \; b = 1\))

Medida Antes (x) Cálculo Después (y)
Media 80 \(5 + 1 \times 80\) 85 ✅
Mediana 80 \(5 + 1 \times 80\) 85 ✅
Desv. típica 14.14 \(|1| \times 14.14\) 14.14 (¡no cambió!)
Varianza 200 \(1^2 \times 200\) 200 (¡no cambió!)

📝 Ejemplo 2: cambio de divisa de los sueldos (×3.6)

Sueldos originales: 2000, 3000, 4000, 5000, 6000

La transformación: \(y = 3.6 \cdot x\) (es decir: \(a = 0, \; b = 3.6\))

Medida Moneda origen (x) Cálculo Tras la conversión (y)
Media $4,000 \(0 + 3.6 \times 4000\) $14,400
Mediana $4,000 \(0 + 3.6 \times 4000\) $14,400
Desv. típica $1,581 \(|3.6| \times 1581\) $5,692
Varianza $²2,500,000 \(3.6^2 \times 2500000\) $²32,400,000

📝 Ejemplo 3: conversión de Celsius a Fahrenheit

Temperaturas en Celsius: 10°, 20°, 30°, 40°, 50°

La transformación: \(F = 32 + 1.8 \cdot C\) (es decir: \(a = 32, \; b = 1.8\))

Medida Celsius (x) Cálculo Fahrenheit (y)
Media 30°C \(32 + 1.8 \times 30 = 32 + 54\) 86°F
Desv. típica 15.81°C \(|1.8| \times 15.81\) 28.46°F
Varianza 250 °C² \(1.8^2 \times 250 = 3.24 \times 250\) 810 °F²

💡 Observa: el 32 (=a) cambió la media pero no la desviación típica. ¡Solo el 1.8 (=b) cambió la desviación típica!

📋 Tabla resumen: ¿cuándo cambia qué?

Operación Media / mediana Desv. típica Varianza
Sumar la constante a
(y = a + x)		 ✅ sí
aumenta en a		 ❌ no
no cambia		 ❌ no
no cambia
Multiplicar por b
(y = b·x)		 ✅ sí
se multiplica por b		 ✅ sí
se multiplica por |b|		 ✅ sí
se multiplica por b²
Ambas
(y = a + b·x)		 ✅ sí
a + b·media		 ✅ sí
|b|·desv. típica		 ✅ sí
b²·varianza

🎓 Pregunta de examen típica

Enunciado: la media de las notas de una clase es 72 y la desviación típica es 8.
La profesora decide aplicar una transformación: nueva nota = 10 + 1.2 × nota antigua.
Halla la media y la desviación típica de las notas nuevas.

Solución:

Datos: \(\bar{x} = 72, \; s_x = 8, \; a = 10, \; b = 1.2\)

Nueva media:
\(\bar{y} = a + b \cdot \bar{x} = 10 + 1.2 \times 72 = 10 + 86.4 = 96.4\)

Nueva desviación típica:
\(s_y = |b| \cdot s_x = |1.2| \times 8 = 9.6\)

Respuesta: nueva media = 96.4, nueva desv. típica = 9.6

⚠️ Errores frecuentes

❌ El error ✅ Lo correcto
"sumé 5, así que la desv. típica también subió 5" ¡Sumar una constante no cambia la desv. típica en absoluto!
"multipliqué por 3, así que la varianza también se multiplicó por 3" ¡La varianza se multiplica por b² = 9, no por b!
"nueva desv. típica = a + b·desv. típica antigua" nueva desv. típica = |b|·desv. típica (¡sin a!)

📝 Resumen

Transformación lineal: \(y = a + b \cdot x\)

Medidas de centralización (media, mediana) — dependen de a y de b

Medidas de dispersión (desv. típica, varianza) — dependen solo de |b|

🔑 ¡Sumar una constante no cambia la dispersión!