📐 טרנספורמציה לינארית
מה קורה לממוצע ולסטיית תקן כשמוסיפים קבוע או כופלים בקבוע?
🎯 למה זה חשוב?
טרנספורמציה לינארית היא שינוי שמבצעים על כל ערכי הנתונים באותה צורה. למשל:
- הוספת בונוס: כל עובד קיבל תוספת של 500 ₪ למשכורת
- המרת מטבע: כל הסכומים הומרו מדולר לשקל (כפל ב-3.6)
- המרת טמפרטורה: מצלזיוס לפרנהייט: \(F = 1.8C + 32\)
- עדכון ציונים: המורה הוסיף 5 נקודות לכל תלמיד
השאלה המרכזית: איך שינוי כזה משפיע על הממוצע, החציון, סטיית התקן והשונות?
📚 הגדרה: מהי טרנספורמציה לינארית?
אם הנתונים המקוריים הם \(x_1, x_2, \ldots, x_n\)
הנתונים החדשים: \(y_i = a + b \cdot x_i\)
💡 מקרים פרטיים חשובים:
- אם \(b = 1\): רק הוספת קבוע → \(y = a + x\)
- אם \(a = 0\): רק כפל בקבוע → \(y = b \cdot x\)
⭐ הכלל המרכזי: נוסחאות הטרנספורמציה
אם \(y = a + b \cdot x\), אז:
⚠️ הכלל הכי חשוב לזכור:
הוספת קבוע (a) לא משנה את הפיזור!
סטיית התקן והשונות לא מושפעות מהוספת קבוע
🧠 למה הוספת קבוע לא משנה את הפיזור?
נחשוב על זה בצורה פשוטה:
דמיינו קבוצה של 5 אנשים עומדים בשורה.
אם כולם יקפצו 3 מטרים ימינה — המרחק בין כל שניים לא משתנה!
כולם זזו באותה כמות, אז הפיזור נשאר זהה.
לפני ההזזה:
📍2 📍5 📍8 📍11 📍14
ממוצע = 8, סט"ת = 4.47
אחרי +10 לכולם:
📍12 📍15 📍18 📍21 📍24
ממוצע = 18, סט"ת = 4.47 ✅
לעומת זאת, כשכופלים בקבוע — המרחקים בין האנשים גדלים!
לפני הכפל:
📍2 📍5 📍8 📍11 📍14
ממוצע = 8, סט"ת = 4.47
אחרי ×3 לכולם:
📍6 📍15 📍24 📍33 📍42
ממוצע = 24, סט"ת = 13.42 (= 3 × 4.47)
📝 דוגמה 1: הוספת 5 נקודות לכל ציון
ציונים מקוריים: 70, 80, 90, 60, 100
הטרנספורמציה: \(y = 5 + x\) (כלומר: \(a = 5, \; b = 1\))
| מדד | לפני (x) | חישוב | אחרי (y) |
|---|---|---|---|
| ממוצע | 80 | \(5 + 1 \times 80\) | 85 ✅ |
| חציון | 80 | \(5 + 1 \times 80\) | 85 ✅ |
| סט"ת | 14.14 | \(|1| \times 14.14\) | 14.14 (לא השתנה!) |
| שונות | 200 | \(1^2 \times 200\) | 200 (לא השתנה!) |
📝 דוגמה 2: המרת משכורות מדולר לשקל (×3.6)
משכורות בדולר: 2000, 3000, 4000, 5000, 6000
הטרנספורמציה: \(y = 3.6 \cdot x\) (כלומר: \(a = 0, \; b = 3.6\))
| מדד | בדולר (x) | חישוב | בשקלים (y) |
|---|---|---|---|
| ממוצע | $4,000 | \(0 + 3.6 \times 4000\) | ₪14,400 |
| חציון | $4,000 | \(0 + 3.6 \times 4000\) | ₪14,400 |
| סט"ת | $1,581 | \(|3.6| \times 1581\) | ₪5,692 |
| שונות | $²2,500,000 | \(3.6^2 \times 2500000\) | ₪²32,400,000 |
📝 דוגמה 3: המרת צלזיוס לפרנהייט
טמפרטורות בצלזיוס: 10°, 20°, 30°, 40°, 50°
הטרנספורמציה: \(F = 32 + 1.8 \cdot C\) (כלומר: \(a = 32, \; b = 1.8\))
| מדד | צלזיוס (x) | חישוב | פרנהייט (y) |
|---|---|---|---|
| ממוצע | 30°C | \(32 + 1.8 \times 30 = 32 + 54\) | 86°F |
| סט"ת | 15.81°C | \(|1.8| \times 15.81\) | 28.46°F |
| שונות | 250 °C² | \(1.8^2 \times 250 = 3.24 \times 250\) | 810 °F² |
💡 שימו לב: ה-32 (=a) שינה את הממוצע אבל לא את סטיית התקן. רק ה-1.8 (=b) שינה את סטיית התקן!
📋 טבלת סיכום: מתי מה משתנה?
🎓 שאלת בגרות טיפוסית
שאלה: ממוצע הציונים בכיתה הוא 72 וסטיית התקן 8.
המורה מחליטה לבצע טרנספורמציה: הציון החדש = 10 + 1.2 × הציון הישן.
מצאו את הממוצע וסטיית התקן של הציונים החדשים.
פתרון:
הנתונים: \(\bar{x} = 72, \; s_x = 8, \; a = 10, \; b = 1.2\)
ממוצע חדש:
\(\bar{y} = a + b \cdot \bar{x} = 10 + 1.2 \times 72 = 10 + 86.4 = 96.4\)
סטיית תקן חדשה:
\(s_y = |b| \cdot s_x = |1.2| \times 8 = 9.6\)
תשובה: ממוצע חדש = 96.4, סט"ת חדשה = 9.6
⚠️ טעויות נפוצות
📝 סיכום
טרנספורמציה לינארית: \(y = a + b \cdot x\)
מדדי מרכז (ממוצע, חציון) — מושפעים מ-a ומ-b
מדדי פיזור (סט"ת, שונות) — מושפעים רק מ-|b|
🔑 הוספת קבוע לא משנה פיזור!