📐 التحويل الخطي
ماذا يحدث للمتوسط والانحراف حين نضيف ثابتاً أو نضرب بثابت؟
🎯 لماذا هذا مهم؟
التحويل الخطي تغيير يُجرى على جميع قيم البيانات بنفس الطريقة. مثلاً:
- إضافة مكافأة: كل موظف حصل على 500 ₪ إضافية
- تحويل عملة: جميع المبالغ حُوّلت من دولار لشيقل (ضرب×3.6)
- تحويل حرارة: : \(F = 1.8C + 32\)
- تحديث الدرجات: المعلم أضاف 5 نقاط لكل طالب
السؤال المحوري: كيف يؤثر هذا على المتوسط والوسيط والانحراف المعياري والتباين؟
📚 التعريف: ما هو التحويل الخطي؟
\(x_1, x_2, \ldots, x_n\)
: \(y_i = a + b \cdot x_i\)
💡 حالات خاصة مهمة:
- \(b = 1\): فقط إضافة ثابت → \(y = a + x\)
- \(a = 0\): فقط → \(y = b \cdot x\)
⭐ القاعدة المحورية: صيغ التحويل
\(y = a + b \cdot x\), :
⚠️ أهم قاعدة للتذكّر:
إضافة ثابت (a) لا تغيّر التشتت!
الانحراف المعياري والتباين لا يتأثران بإضافة ثابت
🧠 لماذا إضافة ثابت لا تغيّر التشتت؟
لنفكّر ببساطة:
تخيّلوا مجموعة من 5 أشخاص يقفون في صف.
3 — بين جميع لم !
الجميع تحرّك بنفس المقدار، إذاً التشتت يبقى كما هو.
:
📍2 📍5 📍8 📍11 📍14
المتوسط = 8, " = 4.47
+10 :
📍12 📍15 📍18 📍21 📍24
المتوسط = 18, " = 4.47 ✅
, — بين !
:
📍2 📍5 📍8 📍11 📍14
المتوسط = 8, " = 4.47
×3 :
📍6 📍15 📍24 📍33 📍42
المتوسط = 24, " = 13.42 (= 3 × 4.47)
📝 مثال 1: إضافة 5 نقاط لكل درجة
: 70, 80, 90, 60, 100
: \(y = 5 + x\) (جميع: \(a = 5, \; b = 1\))
| المقياس | قبل (x) | الحساب | بعد (y) |
|---|---|---|---|
| المتوسط | 80 | \(5 + 1 \times 80\) | 85 ✅ |
| الوسيط | 80 | \(5 + 1 \times 80\) | 85 ✅ |
| " | 14.14 | \(|1| \times 14.14\) | 14.14 (لم يتغير!) |
| التباين | 200 | \(1^2 \times 200\) | 200 (لم يتغير!) |
📝 مثال 2: (×3.6)
: 2000, 3000, 4000, 5000, 6000
: \(y = 3.6 \cdot x\) (جميع: \(a = 0, \; b = 3.6\))
| المقياس | بالدولار (x) | الحساب | بالشيقل (y) |
|---|---|---|---|
| المتوسط | $4,000 | \(0 + 3.6 \times 4000\) | ₪14,400 |
| الوسيط | $4,000 | \(0 + 3.6 \times 4000\) | ₪14,400 |
| " | $1,581 | \(|3.6| \times 1581\) | ₪5,692 |
| التباين | $²2,500,000 | \(3.6^2 \times 2500000\) | ₪²32,400,000 |
📝 مثال 3: تحويل سيليزيوس لفرنهايت
: 10°, 20°, 30°, 40°, 50°
: \(F = 32 + 1.8 \cdot C\) (جميع: \(a = 32, \; b = 1.8\))
| المقياس | سيليزيوس (x) | الحساب | فرنهايت (y) |
|---|---|---|---|
| المتوسط | 30°C | \(32 + 1.8 \times 30 = 32 + 54\) | 86°F |
| " | 15.81°C | \(|1.8| \times 15.81\) | 28.46°F |
| التباين | 250 °C² | \(1.8^2 \times 250 = 3.24 \times 250\) | 810 °F² |
💡 انتبه: الـ32 (=a) غيّر المتوط لكن لم يغيّر الانحراف. فقط الـ1.8 (=b) غيّر الانحراف!
📋 جدول الملخص: متى يتغير ماذا؟
🎓 سؤال نموذجي في الامتحان
السؤال: المتوسط 72 8.
: = 10 + 1.2 × .
أوجد المتوسط والانحراف للدرجات الجديدة.
الحل:
: \(\bar{x} = 72, \; s_x = 8, \; a = 10, \; b = 1.2\)
المتوسط :
\(\bar{y} = a + b \cdot \bar{x} = 10 + 1.2 \times 72 = 10 + 86.4 = 96.4\)
الانحراف المعياري :
\(s_y = |b| \cdot s_x = |1.2| \times 8 = 9.6\)
الجواب: المتوسط = 96.4, " = 9.6
⚠️ أخطاء شائعة
📝 ملخص
: \(y = a + b \cdot x\)
مقاييس النزعة المركزية (المتوسط، الوسيط) – تتأثر بـa وبـb
المقياس (", التباين) — فقط بـ|b|
🔑 إضافة ثابت لا تغيّر التشتت!