📐 Transformation linéaire
Que se passe-t-il pour la moyenne et l'écart-type quand on ajoute une constante ou qu'on multiplie par une constante ?
🎯 Pourquoi est-ce important ?
Une transformation linéaire est un changement appliqué à toutes les valeurs des données de la même manière. Par exemple :
- Ajouter une prime : chaque employé a reçu une augmentation de $500 sur son salaire
- Conversion de devise : tous les montants ont été convertis d'une monnaie à une autre (multiplication par 3.6)
- Conversion de température : de Celsius à Fahrenheit : \(F = 1.8C + 32\)
- Ajustement des notes : le professeur a ajouté 5 points à chaque élève
La question centrale : comment ce changement affecte-t-il la moyenne, la médiane, l'écart-type et la variance ?
📚 Définition : qu'est-ce qu'une transformation linéaire ?
Si les données d'origine sont \(x_1, x_2, \ldots, x_n\)
Les nouvelles données : \(y_i = a + b \cdot x_i\)
💡 Cas particuliers importants :
- si \(b = 1\) : seulement ajout d'une constante → \(y = a + x\)
- si \(a = 0\) : seulement multiplication par une constante → \(y = b \cdot x\)
⭐ La règle centrale : formules de la transformation
si \(y = a + b \cdot x\), alors :
⚠️ La règle la plus importante à retenir :
Ajouter une constante (a) ne change pas la dispersion !
L'écart-type et la variance ne sont pas affectés par l'ajout d'une constante
🧠 Pourquoi ajouter une constante ne change-t-il pas la dispersion ?
Réfléchissons-y simplement :
Imaginez un groupe de 5 personnes debout en rang.
Si toutes sautent 3 mètres à droite — la distance entre toute paire ne change pas !
Toutes se sont déplacées de la même quantité, donc la dispersion reste identique.
Avant le déplacement :
📍2 📍5 📍8 📍11 📍14
moyenne = 8, écart-type = 4.47
Après +10 pour tous :
📍12 📍15 📍18 📍21 📍24
moyenne = 18, écart-type = 4.47 ✅
En revanche, en multipliant par une constante — les distances entre les personnes augmentent !
Avant la multiplication :
📍2 📍5 📍8 📍11 📍14
moyenne = 8, écart-type = 4.47
Après ×3 pour tous :
📍6 📍15 📍24 📍33 📍42
moyenne = 24, écart-type = 13.42 (= 3 × 4.47)
📝 Exemple 1 : ajouter 5 points à chaque note
Notes originales : 70, 80, 90, 60, 100
La transformation : \(y = 5 + x\) (c'est-à-dire : \(a = 5, \; b = 1\))
| Indicateur | Avant (x) | Calcul | Après (y) |
|---|---|---|---|
| Moyenne | 80 | \(5 + 1 \times 80\) | 85 ✅ |
| Médiane | 80 | \(5 + 1 \times 80\) | 85 ✅ |
| Écart-type | 14.14 | \(|1| \times 14.14\) | 14.14 (inchangé !) |
| Variance | 200 | \(1^2 \times 200\) | 200 (inchangée !) |
📝 Exemple 2 : conversion de devise des salaires (×3.6)
Salaires originaux : 2000, 3000, 4000, 5000, 6000
La transformation : \(y = 3.6 \cdot x\) (c'est-à-dire : \(a = 0, \; b = 3.6\))
| Indicateur | Devise d'origine (x) | Calcul | Après la conversion (y) |
|---|---|---|---|
| Moyenne | $4,000 | \(0 + 3.6 \times 4000\) | $14,400 |
| Médiane | $4,000 | \(0 + 3.6 \times 4000\) | $14,400 |
| Écart-type | $1,581 | \(|3.6| \times 1581\) | $5,692 |
| Variance | $²2,500,000 | \(3.6^2 \times 2500000\) | $²32,400,000 |
📝 Exemple 3 : conversion de Celsius en Fahrenheit
Températures en Celsius : 10°, 20°, 30°, 40°, 50°
La transformation : \(F = 32 + 1.8 \cdot C\) (c'est-à-dire : \(a = 32, \; b = 1.8\))
| Indicateur | Celsius (x) | Calcul | Fahrenheit (y) |
|---|---|---|---|
| Moyenne | 30°C | \(32 + 1.8 \times 30 = 32 + 54\) | 86°F |
| Écart-type | 15.81°C | \(|1.8| \times 15.81\) | 28.46°F |
| Variance | 250 °C² | \(1.8^2 \times 250 = 3.24 \times 250\) | 810 °F² |
💡 Remarque : le 32 (=a) a changé la moyenne mais pas l'écart-type. Seul le 1.8 (=b) a changé l'écart-type !
📋 Tableau récapitulatif : quand change quoi ?
🎓 Question de bac typique
Énoncé : la moyenne des notes d'une classe est 72 et l'écart-type est 8.
La professeure décide d'appliquer une transformation : nouvelle note = 10 + 1.2 × ancienne note.
Trouvez la moyenne et l'écart-type des nouvelles notes.
Solution :
Données : \(\bar{x} = 72, \; s_x = 8, \; a = 10, \; b = 1.2\)
Nouvelle moyenne :
\(\bar{y} = a + b \cdot \bar{x} = 10 + 1.2 \times 72 = 10 + 86.4 = 96.4\)
Nouvel écart-type :
\(s_y = |b| \cdot s_x = |1.2| \times 8 = 9.6\)
Réponse : nouvelle moyenne = 96.4, nouvel écart-type = 9.6
⚠️ Erreurs fréquentes
📝 Résumé
Transformation linéaire : \(y = a + b \cdot x\)
Mesures de tendance centrale (moyenne, médiane) — dépendent de a et de b
Mesures de dispersion (écart-type, variance) — dépendent seulement de |b|
🔑 Ajouter une constante ne change pas la dispersion !