📐 线性变换
当对数据加上一个常数或乘以一个常数时,平均数与标准差会发生什么变化?
🎯 为什么这很重要?
线性变换是对所有数据值都进行同一种变化。例如:
- 加上奖金:每位员工的工资都增加 $500
- 货币转换:所有金额都从一种货币换算到另一种(乘以 3.6)
- 温度转换:从摄氏度到华氏度:\(F = 1.8C + 32\)
- 分数调整:老师给每位学生加 5 分
核心问题:这种变化如何影响平均数、中位数、标准差与方差?
📚 定义:什么是线性变换?
如果原始数据是 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\)
新数据:\(y_i = a + b \cdot x_i\)
💡 重要的特殊情况:
- 如果 \(b = 1\):只是加常数 → \(y = a + x\)
- 如果 \(a = 0\):只是乘常数 → \(y = b \cdot x\)
⭐ 核心规则:变换公式
如果 \(y = a + b \cdot x\),那么:
⚠️ 最重要的规则:
加上常数(a)不会改变离散度!
标准差与方差不受加常数的影响
🧠 为什么加常数不改变离散度?
让我们用简单的方式来思考:
想象一排站立的 5 个人。
如果所有人都向右跳 3 米 — 任意两人之间的距离都不变!
所有人都移动了相同的量,所以离散度保持不变。
平移之前:
📍2 📍5 📍8 📍11 📍14
平均数 = 8,标准差 = 4.47
所有人 +10 之后:
📍12 📍15 📍18 📍21 📍24
平均数 = 18,标准差 = 4.47 ✅
相比之下,乘以常数时 — 人与人之间的距离变大!
乘法之前:
📍2 📍5 📍8 📍11 📍14
平均数 = 8,标准差 = 4.47
所有人 ×3 之后:
📍6 📍15 📍24 📍33 📍42
平均数 = 24,标准差 = 13.42 (= 3 × 4.47)
📝 示例 1:给每个分数加 5 分
原始分数:70, 80, 90, 60, 100
变换:\(y = 5 + x\)(也就是说:\(a = 5, \; b = 1\))
| 指标 | 之前 (x) | 计算 | 之后 (y) |
|---|---|---|---|
| 平均数 | 80 | \(5 + 1 \times 80\) | 85 ✅ |
| 中位数 | 80 | \(5 + 1 \times 80\) | 85 ✅ |
| 标准差 | 14.14 | \(|1| \times 14.14\) | 14.14(未变!) |
| 方差 | 200 | \(1^2 \times 200\) | 200(未变!) |
📝 示例 2:工资货币换算(×3.6)
原始工资:2000, 3000, 4000, 5000, 6000
变换:\(y = 3.6 \cdot x\)(也就是说:\(a = 0, \; b = 3.6\))
| 指标 | 原货币 (x) | 计算 | 换算后 (y) |
|---|---|---|---|
| 平均数 | $4,000 | \(0 + 3.6 \times 4000\) | $14,400 |
| 中位数 | $4,000 | \(0 + 3.6 \times 4000\) | $14,400 |
| 标准差 | $1,581 | \(|3.6| \times 1581\) | $5,692 |
| 方差 | $²2,500,000 | \(3.6^2 \times 2500000\) | $²32,400,000 |
📝 示例 3:摄氏度转华氏度
摄氏温度:10°, 20°, 30°, 40°, 50°
变换:\(F = 32 + 1.8 \cdot C\)(也就是说:\(a = 32, \; b = 1.8\))
| 指标 | 摄氏 (x) | 计算 | 华氏 (y) |
|---|---|---|---|
| 平均数 | 30°C | \(32 + 1.8 \times 30 = 32 + 54\) | 86°F |
| 标准差 | 15.81°C | \(|1.8| \times 15.81\) | 28.46°F |
| 方差 | 250 °C² | \(1.8^2 \times 250 = 3.24 \times 250\) | 810 °F² |
💡 请注意:这个 32(=a)改变了平均数,但没有改变标准差。只有 1.8(=b)改变了标准差!
📋 总结表格:什么时候改变什么?
🎓 典型考试题
题目:某班级分数的平均数是 72,标准差是 8。
老师决定进行变换:新分数 = 10 + 1.2 × 旧分数。
求新分数的平均数与标准差。
解答:
数据:\(\bar{x} = 72, \; s_x = 8, \; a = 10, \; b = 1.2\)
新平均数:
\(\bar{y} = a + b \cdot \bar{x} = 10 + 1.2 \times 72 = 10 + 86.4 = 96.4\)
新标准差:
\(s_y = |b| \cdot s_x = |1.2| \times 8 = 9.6\)
答案:新平均数 = 96.4,新标准差 = 9.6
⚠️ 常见错误
📝 总结
线性变换:\(y = a + b \cdot x\)
集中量数(平均数、中位数)— 受 a 和 b 影响
离散量数(标准差、方差)— 只受 |b| 影响
🔑 加上常数不改变离散度!