Distancia entre dos puntos \(A(x_1, y_1)\) y \(B(x_2, y_2)\) (se deduce del teorema de Pitágoras):

Punto medio del segmento \(AB\) — promedio de las coordenadas:

Líneas notables del triángulo:

• Mediana — segmento desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Todo triángulo tiene \(3\) medianas y se cortan en un único punto (el baricentro).
• Altura — segmento desde un vértice perpendicular al lado opuesto. Las tres alturas se cortan en el punto llamado ortocentro. En un triángulo rectángulo el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.
• Segmento medio — segmento que une los puntos medios de dos lados. Es paralelo al tercer lado y mide la mitad de él.

Identificar el tipo de triángulo desde coordenadas: se calculan las longitudes de los tres lados. Si dos lados son iguales es isósceles; si los tres son iguales es equilátero; si la suma de los cuadrados de los dos lados más cortos es igual al cuadrado del más largo, es rectángulo.

Ejemplo 1: Distancia entre dos puntos

Enunciado: Halla la distancia entre los puntos \(A(-3, 2)\) y \(B(1, 5)\).

Solución:

1. Usamos la fórmula de la distancia: \(AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).
2. Diferencias de coordenadas: \(x_2 - x_1 = 1 - (-3) = 4\), \(y_2 - y_1 = 5 - 2 = 3\).
3. Sustituimos: \(AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25}\).
4. Extraemos la raíz: \(AB = 5\).

Respuesta: La distancia es \(5\) unidades.

Ejemplo 2: Verificar si un triángulo es rectángulo desde coordenadas

Enunciado: Dado el triángulo con vértices \(A(1, 1)\), \(B(5, 1)\), \(C(1, 4)\). ¿Es rectángulo?

Solución:

1. Calculamos los tres lados. \(AB = \sqrt{(5-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{16} = 4\).
2. \(AC = \sqrt{(1-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{9} = 3\).
3. \(BC = \sqrt{(1-5)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\).
4. Aplicamos el recíproco de Pitágoras: \(AB^2 + AC^2 = 16 + 9 = 25 = BC^2\).
5. La igualdad se cumple, por lo que el triángulo es rectángulo (el ángulo recto está en \(A\)).

Respuesta: Sí, el triángulo es rectángulo, con el ángulo recto en el vértice \(A\).

Ejemplo 3: Punto medio y longitud de la mediana

Enunciado: En el triángulo con vértices \(A(0, 0)\), \(B(8, 0)\), \(C(4, 6)\), halla el punto medio del lado \(AB\) y la longitud de la mediana desde \(C\) hasta \(AB\).

Solución:

1. Punto medio de \(AB\): \(M = \left(\dfrac{0+8}{2}, \dfrac{0+0}{2}\right) = (4, 0)\).
2. La mediana desde \(C\) es el segmento \(CM\), es decir, la distancia de \(C(4,6)\) a \(M(4,0)\).
3. \(CM = \sqrt{(4-4)^2 + (0-6)^2} = \sqrt{0 + 36} = 6\).
4. La mediana es vertical porque ambos puntos comparten la misma coordenada \(x = 4\).

Respuesta: El punto medio de \(AB\) es \((4, 0)\) y la longitud de la mediana desde \(C\) es \(6\) unidades.

Ejemplo 4: Identificar un triángulo isósceles y calcular la altura a la base

Enunciado: Un triángulo isósceles tiene lados iguales de \(5\) cm y base de \(6\) cm. Halla la altura a la base.

Solución:

1. En un triángulo isósceles la altura a la base biseca la base, formando un triángulo rectángulo cuyo cateto es la mitad de la base, \(= 3\).
2. El lado igual es la hipotenusa \(= 5\), y la altura \(h\) es el otro cateto.
3. Por Pitágoras: \(h^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16\).
4. Extraemos la raíz: \(h = \sqrt{16} = 4\) cm.

Respuesta: La altura a la base mide \(4\) cm.

Ejemplo 5: Área del triángulo a partir de un lado y la altura

Enunciado: Halla el área del triángulo cuyo lado mide \(12\) cm y cuya altura sobre ese lado mide \(7\) cm.

Solución:

1. Fórmula del área del triángulo: \(S = \dfrac{1}{2}\cdot \text{base} \cdot \text{altura}\).
2. Sustituimos la base \(= 12\) y la altura \(= 7\): \(S = \dfrac{1}{2}\cdot 12\cdot 7\).
3. Calculamos: \(\dfrac{1}{2}\cdot 84 = 42\).

Respuesta: El área es \(42\) cm².

✗ Error común: En la fórmula de la distancia se multiplica \((x_2 - x_1)\cdot(y_2 - y_1)\) en lugar de sumar los cuadrados.

✓ La forma correcta: La fórmula es \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) — se eleva al cuadrado cada diferencia por separado y luego se suman. Es el teorema de Pitágoras aplicado al plano.

✗ Error común: Se comete un error de signo al restar coordenadas negativas, por ejemplo \(1 - (-3) = -2\) en lugar de \(4\).

✓ La forma correcta: Restar un número negativo equivale a sumar: \(1 - (-3) = 1 + 3 = 4\). De todas formas, elevar al cuadrado elimina el signo, pero conviene ser preciso.

✗ Error común: Se confunde la mediana con la altura y se busca la distancia al punto medio cuando se pide la altura.

✓ La forma correcta: La mediana va al punto medio del lado; la altura es perpendicular al lado y llega al pie de la perpendicular. Solo en el triángulo isósceles (hacia la base) y en el equilátero coinciden ambas.

Distancia: \(AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\). Punto medio: \(\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\).

• Mediana — desde un vértice al punto medio del lado opuesto (3 medianas, se cortan en el baricentro).
• Altura — perpendicular al lado; las alturas se cortan en el ortocentro (en el vértice recto del triángulo rectángulo).
• Segmento medio — paralelo al tercer lado y de longitud la mitad.
• Tipo de triángulo: compara las longitudes de los lados; Pitágoras inverso \(\Rightarrow\) rectángulo.
• Área: \(S = \dfrac{1}{2}\cdot \text{base}\cdot \text{altura}\).