מרחק בין שתי נקודות \(A(x_1, y_1)\) ו-\(B(x_2, y_2)\) (נובע ממשפט פיתגורס):

אמצע קטע \(AB\) — ממוצע הקואורדינטות:

קווים מיוחדים במשולש:

• תיכון — קטע מקודקוד אל אמצע הצלע שמולו. בכל משולש יש \(3\) תיכונים, והם נפגשים בנקודה אחת (מרכז הכובד).
• גובה — קטע מקודקוד המאונך לצלע שמולו. שלושת הגבהים נפגשים בנקודה הנקראת אורתוצנטר. במשולש ישר זווית האורתוצנטר נמצא בקודקוד הזווית הישרה.
• קטע אמצעים — קטע המחבר אמצעי שתי צלעות. הוא מקביל לצלע השלישית ואורכו מחצית ממנה.

זיהוי סוג משולש מקואורדינטות: מחשבים את אורכי שלוש הצלעות. אם שתי צלעות שוות — שווה שוקיים; אם שלושתן שוות — שווה צלעות; אם סכום ריבועי שתי הצלעות הקצרות שווה לריבוע הארוכה — ישר זווית.

דוגמה 1: מרחק בין שתי נקודות

השאלה: מצאו את המרחק בין הנקודות \(A(-3, 2)\) ו-\(B(1, 5)\).

פתרון:

1. נשתמש בנוסחת המרחק: \(AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).
2. הפרשי הקואורדינטות: \(x_2 - x_1 = 1 - (-3) = 4\), \(y_2 - y_1 = 5 - 2 = 3\).
3. נציב: \(AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25}\).
4. נוציא שורש: \(AB = 5\).

תשובה: המרחק הוא \(5\) יחידות.

דוגמה 2: זיהוי משולש ישר זווית מקואורדינטות

השאלה: נתון משולש בקודקודים \(A(1, 1)\), \(B(5, 1)\), \(C(1, 4)\). בדקו האם הוא ישר זווית.

פתרון:

1. נחשב את שלוש הצלעות. \(AB = \sqrt{(5-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{16} = 4\).
2. \(AC = \sqrt{(1-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{9} = 3\).
3. \(BC = \sqrt{(1-5)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\).
4. נבדוק פיתגורס הפוך: \(AB^2 + AC^2 = 16 + 9 = 25 = BC^2\).
5. השוויון מתקיים, ולכן המשולש ישר זווית (הזווית הישרה ב-\(A\)).

תשובה: כן, המשולש ישר זווית, עם הזווית הישרה בקודקוד \(A\).

דוגמה 3: אמצע קטע ואורך תיכון

השאלה: במשולש בקודקודים \(A(0, 0)\), \(B(8, 0)\), \(C(4, 6)\) מצאו את אמצע הצלע \(AB\) ואת אורך התיכון מ-\(C\) אל \(AB\).

פתרון:

1. אמצע \(AB\): \(M = \left(\dfrac{0+8}{2}, \dfrac{0+0}{2}\right) = (4, 0)\).
2. התיכון מ-\(C\) הוא הקטע \(CM\), כלומר המרחק מ-\(C(4,6)\) אל \(M(4,0)\).
3. \(CM = \sqrt{(4-4)^2 + (0-6)^2} = \sqrt{0 + 36} = 6\).
4. התיכון אנכי כי הנקודות חולקות את אותו \(x = 4\).

תשובה: אמצע \(AB\) הוא \((4, 0)\), ואורך התיכון מ-\(C\) הוא \(6\) יחידות.

דוגמה 4: זיהוי משולש שווה שוקיים וחישוב גובה לבסיס

השאלה: משולש שווה שוקיים בעל שוקיים באורך \(5\) ס"מ ובסיס באורך \(6\) ס"מ. מצאו את הגובה לבסיס.

פתרון:

1. במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס חוצה אותו, ולכן נוצר משולש ישר זווית שניצב אחד שלו הוא חצי הבסיס \(= 3\).
2. השוק היא היתר \(= 5\), והגובה \(h\) הוא הניצב השני.
3. לפי פיתגורס: \(h^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16\).
4. נוציא שורש: \(h = \sqrt{16} = 4\) ס"מ.

תשובה: הגובה לבסיס הוא \(4\) ס"מ.

דוגמה 5: שטח משולש מצלע וגובה

השאלה: מצאו את שטח המשולש שאחת מצלעותיו \(12\) ס"מ והגובה אל אותה צלע הוא \(7\) ס"מ.

פתרון:

1. נוסחת שטח משולש: \(S = \dfrac{1}{2}\cdot \text{בסיס} \cdot \text{גובה}\).
2. נציב את הבסיס \(= 12\) ואת הגובה \(= 7\): \(S = \dfrac{1}{2}\cdot 12\cdot 7\).
3. נחשב: \(\dfrac{1}{2}\cdot 84 = 42\).

תשובה: השטח הוא \(42\) סמ"ר.

✗ טעות נפוצה: בנוסחת המרחק מחשבים \((x_2 - x_1)\cdot(y_2 - y_1)\) במקום סכום ריבועים.

✓ הדרך הנכונה: הנוסחה היא \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) — מעלים בריבוע כל הפרש בנפרד ואז מחברים. זו למעשה משפט פיתגורס במישור.

✗ טעות נפוצה: טועים בסימן כשמחסרים קואורדינטות שליליות, למשל \(1 - (-3) = -2\) במקום \(4\).

✓ הדרך הנכונה: חיסור של מספר שלילי הופך לחיבור: \(1 - (-3) = 1 + 3 = 4\). ממילא העלאה בריבוע מבטלת את הסימן, אך כדאי לדייק.

✗ טעות נפוצה: מבלבלים בין תיכון לגובה — מחפשים מרחק לאמצע הצלע כשמבקשים גובה.

✓ הדרך הנכונה: תיכון מגיע אל אמצע הצלע; גובה מאונך לצלע ומגיע אל רגל האנך. רק במשולש שווה שוקיים (אל הבסיס) ובשווה צלעות הם מתלכדים.

מרחק: \(AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\). אמצע קטע: \(\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\).

• תיכון — מקודקוד לאמצע הצלע שמולו (3 תיכונים, נפגשים במרכז הכובד).
• גובה — מאונך לצלע; הגבהים נפגשים באורתוצנטר (בקודקוד הישר במשולש ישר זווית).
• קטע אמצעים — מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.
• סוג משולש: השוו אורכי צלעות; פיתגורס הפוך \(\Rightarrow\) ישר זווית.
• שטח: \(S = \dfrac{1}{2}\cdot \text{בסיס}\cdot \text{גובה}\).