Distance entre deux points \(A(x_1, y_1)\) et \(B(x_2, y_2)\) (découle du théorème de Pythagore) :

Milieu d'un segment \(AB\) — moyenne des coordonnées :

Droites remarquables dans un triangle :

• Médiane — segment d'un sommet vers le milieu du côté opposé. Tout triangle possède \(3\) médianes qui se rencontrent en un même point (centre de gravité).
• Hauteur — segment d'un sommet perpendiculaire au côté opposé. Les trois hauteurs se rencontrent en un point appelé orthocentre. Dans un triangle rectangle, l'orthocentre coïncide avec le sommet de l'angle droit.
• Segment médian — segment reliant les milieux de deux côtés. Il est parallèle au troisième côté et mesure la moitié de celui-ci.

Identifier le type d'un triangle par ses coordonnées : on calcule les longueurs des trois côtés. Si deux côtés sont égaux — triangle isocèle ; si les trois sont égaux — triangle équilatéral ; si la somme des carrés des deux plus petits côtés est égale au carré du plus grand — triangle rectangle.

Exemple 1 : Distance entre deux points

Énoncé : Trouvez la distance entre les points \(A(-3, 2)\) et \(B(1, 5)\).

Solution :

1. On applique la formule de distance : \(AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).
2. Différences de coordonnées : \(x_2 - x_1 = 1 - (-3) = 4\), \(y_2 - y_1 = 5 - 2 = 3\).
3. On substitue : \(AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25}\).
4. On extrait la racine : \(AB = 5\).

Réponse : La distance est \(5\) unités.

Exemple 2 : Identifier un triangle rectangle par ses coordonnées

Énoncé : On donne un triangle de sommets \(A(1, 1)\), \(B(5, 1)\), \(C(1, 4)\). Est-il rectangle ?

Solution :

1. Calculons les trois côtés. \(AB = \sqrt{(5-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{16} = 4\).
2. \(AC = \sqrt{(1-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{9} = 3\).
3. \(BC = \sqrt{(1-5)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\).
4. On vérifie la réciproque de Pythagore : \(AB^2 + AC^2 = 16 + 9 = 25 = BC^2\).
5. L'égalité est vérifiée, donc le triangle est rectangle (angle droit en \(A\)).

Réponse : Oui, le triangle est rectangle, avec l'angle droit au sommet \(A\).

Exemple 3 : Milieu d'un segment et longueur d'une médiane

Énoncé : Dans le triangle de sommets \(A(0, 0)\), \(B(8, 0)\), \(C(4, 6)\), trouvez le milieu de \(AB\) et la longueur de la médiane issue de \(C\) vers \(AB\).

Solution :

1. Milieu de \(AB\) : \(M = \left(\dfrac{0+8}{2}, \dfrac{0+0}{2}\right) = (4, 0)\).
2. La médiane issue de \(C\) est le segment \(CM\), soit la distance de \(C(4,6)\) à \(M(4,0)\).
3. \(CM = \sqrt{(4-4)^2 + (0-6)^2} = \sqrt{0 + 36} = 6\).
4. La médiane est verticale car les deux points partagent la même abscisse \(x = 4\).

Réponse : Le milieu de \(AB\) est \((4, 0)\) et la longueur de la médiane issue de \(C\) est \(6\) unités.

Exemple 4 : Triangle isocèle — hauteur relative à la base

Énoncé : Un triangle isocèle a des côtés égaux de \(5\) cm et une base de \(6\) cm. Trouvez la hauteur relative à la base.

Solution :

1. Dans un triangle isocèle, la hauteur relative à la base la coupe en deux, formant un triangle rectangle dont une cathète est la demi-base \(= 3\).
2. Le côté égal est l'hypoténuse \(= 5\), et la hauteur \(h\) est l'autre cathète.
3. D'après Pythagore : \(h^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16\).
4. On extrait la racine : \(h = \sqrt{16} = 4\) cm.

Réponse : La hauteur relative à la base est \(4\) cm.

Exemple 5 : Aire d'un triangle à partir d'un côté et d'une hauteur

Énoncé : Trouvez l'aire du triangle dont un côté mesure \(12\) cm et la hauteur relative à ce côté est \(7\) cm.

Solution :

1. Formule de l'aire d'un triangle : \(S = \dfrac{1}{2}\cdot \text{base} \cdot \text{hauteur}\).
2. On substitue la base \(= 12\) et la hauteur \(= 7\) : \(S = \dfrac{1}{2}\cdot 12\cdot 7\).
3. On calcule : \(\dfrac{1}{2}\cdot 84 = 42\).

Réponse : L'aire est \(42\) cm².

✗ Erreur fréquente : Dans la formule de distance, on calcule \((x_2 - x_1)\cdot(y_2 - y_1)\) au lieu de la somme des carrés.

✓ La bonne méthode : La formule est \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) — on élève chaque différence au carré séparément puis on additionne. C'est le théorème de Pythagore appliqué au plan.

✗ Erreur fréquente : On fait une erreur de signe en soustrayant des coordonnées négatives, par exemple \(1 - (-3) = -2\) au lieu de \(4\).

✓ La bonne méthode : Soustraire un nombre négatif revient à additionner : \(1 - (-3) = 1 + 3 = 4\). De toute façon, l'élévation au carré élimine le signe, mais il vaut mieux être rigoureux.

✗ Erreur fréquente : On confond médiane et hauteur — on cherche la distance jusqu'au milieu du côté quand on demande la hauteur.

✓ La bonne méthode : La médiane va d'un sommet au milieu du côté opposé ; la hauteur est perpendiculaire au côté opposé et aboutit au pied de la perpendiculaire. Elles coïncident uniquement dans un triangle isocèle (vers la base) et équilatéral.

Distance : \(AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\). Milieu : \(\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\).

• Médiane — d'un sommet au milieu du côté opposé (3 médianes, se rencontrent au centre de gravité).
• Hauteur — perpendiculaire au côté opposé ; les hauteurs se rencontrent à l'orthocentre (au sommet droit dans le triangle rectangle).
• Segment médian — parallèle au troisième côté et égal à sa moitié.
• Type de triangle : comparez les longueurs des côtés ; réciproque de Pythagore \(\Rightarrow\) triangle rectangle.
• Aire : \(S = \dfrac{1}{2}\cdot \text{base}\cdot \text{hauteur}\).