المسافة بين نقطتين \(A(x_1, y_1)\) و\(B(x_2, y_2)\) (مشتقة من مبرهنة فيثاغورس):

منتصف القطعة \(AB\) — متوسط الإحداثيات:

الخطوط الخاصة في المثلث:

• الوسيط — قطعة من رأس إلى منتصف الضلع المقابل. في كل مثلث \(3\) أوساط تلتقي في نقطة واحدة (مركز الثقل).
• الارتفاع — قطعة من رأس عمودية على الضلع المقابل. الارتفاعات الثلاثة تلتقي في نقطة تسمى المركز التعامدي. في المثلث القائم يقع المركز التعامدي في رأس الزاوية القائمة.
• قطعة الأوساط — تصل منتصفَي ضلعَين. هي موازية للضلع الثالث وطولها نصفه.

تحديد نوع المثلث من الإحداثيات: نحسب أطوال الأضلاع الثلاثة. إن تساوى ضلعان — فهو متساوي الساقين؛ إن تساوت جميعها — متساوي الأضلاع؛ إن ساوى مجموع مربعَي الضلعَين القصيرَين مربعَ الأطول — فهو قائم الزاوية.

مثال 1: المسافة بين نقطتين

السؤال: أوجد المسافة بين النقطتين \(A(-3, 2)\) و\(B(1, 5)\).

الحل:

1. نستخدم صيغة المسافة: \(AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).
2. فروق الإحداثيات: \(x_2 - x_1 = 1 - (-3) = 4\)، \(y_2 - y_1 = 5 - 2 = 3\).
3. نعوِّض: \(AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25}\).
4. نستخرج الجذر: \(AB = 5\).

الإجابة: المسافة هي \(5\) وحدات.

مثال 2: التحقق من أن مثلثاً قائم الزاوية من إحداثياته

السؤال: مثلث رؤوسه \(A(1, 1)\) و\(B(5, 1)\) و\(C(1, 4)\). هل هو قائم الزاوية؟

الحل:

1. نحسب الأضلاع الثلاثة. \(AB = \sqrt{(5-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{16} = 4\).
2. \(AC = \sqrt{(1-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{9} = 3\).
3. \(BC = \sqrt{(1-5)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\).
4. نتحقق بعكس فيثاغورس: \(AB^2 + AC^2 = 16 + 9 = 25 = BC^2\).
5. التساوي متحقق، إذاً المثلث قائم الزاوية (الزاوية القائمة عند \(A\)).

الإجابة: نعم، المثلث قائم الزاوية، والزاوية القائمة عند الرأس \(A\).

مثال 3: منتصف القطعة وطول الوسيط

السؤال: في مثلث رؤوسه \(A(0, 0)\) و\(B(8, 0)\) و\(C(4, 6)\) أوجد منتصف الضلع \(AB\) وطول الوسيط من \(C\) إلى \(AB\).

الحل:

1. منتصف \(AB\): \(M = \left(\dfrac{0+8}{2}, \dfrac{0+0}{2}\right) = (4, 0)\).
2. الوسيط من \(C\) هو القطعة \(CM\)، أي المسافة من \(C(4,6)\) إلى \(M(4,0)\).
3. \(CM = \sqrt{(4-4)^2 + (0-6)^2} = \sqrt{0 + 36} = 6\).
4. الوسيط رأسي لأن النقطتين تشتركان في \(x = 4\).

الإجابة: منتصف \(AB\) هو \((4, 0)\)، وطول الوسيط من \(C\) هو \(6\) وحدات.

مثال 4: التعرف على مثلث متساوي الساقين وحساب الارتفاع إلى القاعدة

السؤال: مثلث متساوي الساقين طول كل ساق \(5\) سم وقاعدته \(6\) سم. أوجد الارتفاع إلى القاعدة.

الحل:

1. في المثلث المتساوي الساقين ينصِّف الارتفاعُ إلى القاعدةِ القاعدةَ، فيتشكل مثلث قائم إحدى ساقيه نصف القاعدة \(= 3\).
2. الساق الأصلية هي الوتر \(= 5\)، والارتفاع \(h\) هو الساق الأخرى.
3. بفيثاغورس: \(h^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16\).
4. نستخرج الجذر: \(h = \sqrt{16} = 4\) سم.

الإجابة: الارتفاع إلى القاعدة هو \(4\) سم.

مثال 5: مساحة المثلث من ضلع وارتفاع

السؤال: أوجد مساحة مثلث أحد أضلاعه \(12\) سم والارتفاع إلى ذلك الضلع \(7\) سم.

الحل:

1. صيغة مساحة المثلث: \(S = \dfrac{1}{2}\cdot \text{القاعدة} \cdot \text{الارتفاع}\).
2. نعوِّض القاعدة \(= 12\) والارتفاع \(= 7\): \(S = \dfrac{1}{2}\cdot 12\cdot 7\).
3. نحسب: \(\dfrac{1}{2}\cdot 84 = 42\).

الإجابة: المساحة هي \(42\) سم².

✗ خطأ شائع: في صيغة المسافة يضرب الطالب \((x_2 - x_1)\cdot(y_2 - y_1)\) بدلاً من مجموع المربعات.

✓ الطريقة الصحيحة: الصيغة هي \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) — يُربَّع كل فرق على حدة ثم يُجمعان. هذه مبرهنة فيثاغورس في المستوى.

✗ خطأ شائع: يخطئ الطالب في الإشارة عند طرح إحداثيات سالبة، مثلاً \(1 - (-3) = -2\) بدلاً من \(4\).

✓ الطريقة الصحيحة: طرح عدد سالب يُعادل جمعه: \(1 - (-3) = 1 + 3 = 4\). التربيع أصلاً يُلغي الإشارة، لكن الدقة في الحساب مطلوبة.

✗ خطأ شائع: يخلط الطالب بين الوسيط والارتفاع — يبحث عن المسافة إلى منتصف الضلع عند المطالبة بالارتفاع.

✓ الطريقة الصحيحة: الوسيط يصل إلى منتصف الضلع؛ الارتفاع عمودي على الضلع ويصل إلى قاعدة العمود. فقط في المثلث المتساوي الساقين (إلى القاعدة) وفي متساوي الأضلاع يتطابقان.

المسافة: \(AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\). منتصف القطعة: \(\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\).

• الوسيط — من رأس إلى منتصف الضلع المقابل (3 أوساط تلتقي في مركز الثقل).
• الارتفاع — عمودي على الضلع؛ الارتفاعات تلتقي في المركز التعامدي (عند الرأس القائم في المثلث القائم).
• قطعة الأوساط — موازية للضلع الثالث وتساوي نصفه.
• نوع المثلث: قارن أطوال الأضلاع؛ عكس فيثاغورس \(\Rightarrow\) قائم الزاوية.
• المساحة: \(S = \dfrac{1}{2}\cdot \text{القاعدة}\cdot \text{الارتفاع}\).