Una inecuación lineal es una expresión de la forma \( ax + b \gt 0 \) (o con \( \lt , \geq, \leq \)), donde la incógnita \( x \) aparece solo en primer grado.

Los cuatro signos de desigualdad:

• \( \gt \) — estrictamente mayor (no incluye el extremo).
• \( \lt \) — estrictamente menor (no incluye el extremo).
• \( \geq \) — mayor o igual (incluye el extremo).
• \( \leq \) — menor o igual (incluye el extremo).

La regla más importante: cuando se multiplican o dividen ambos miembros por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte. La razón: multiplicar por un número negativo refleja la recta respecto al cero, lo que invierte el orden. Por ejemplo, \( 3 \lt 5 \) es verdadero, pero si multiplicamos por \( (-1) \) obtenemos \( -3 \) y \( -5 \), y ahora \( -3 \gt -5 \).

Representación en la recta numérica: un punto cerrado (●) indica un extremo que se incluye en el conjunto (\( \geq \) o \( \leq \)), y un punto abierto (○) indica un extremo que no se incluye (\( \gt \) o \( \lt \)).

Intersección y unión: cuando se requiere que se cumplan dos inecuaciones simultáneamente, se busca la intersección (\( \cap \)), es decir el conjunto común. Cuando basta con que se cumpla una de ellas, se busca la unión (\( \cup \)).

Valor absoluto: \( |A| \leq k \) (con \( k \geq 0 \)) equivale a \( -k \leq A \leq k \), mientras que \( |A| \geq k \) equivale a \( A \geq k \) o \( A \leq -k \).

Ejemplo 1: Solución básica y transposición de términos

Enunciado: Resuelve la inecuación: \( 4x - 5 \leq 11 \)

Solución:

1. Transponemos \( -5 \) al miembro derecho: \( 4x \leq 11 + 5 \), es decir \( 4x \leq 16 \).
2. Dividimos ambos miembros entre \( 4 \). El coeficiente es positivo, por lo que el sentido se conserva: \( x \leq 4 \).
3. En la recta: punto cerrado en \( 4 \) y flecha hacia la izquierda (todos los valores menores o iguales a \( 4 \)).

Respuesta: \( x \leq 4 \)

Ejemplo 2: Inversión del signo al dividir por un negativo

Enunciado: Resuelve la inecuación: \( -3x + 2 \gt 14 \)

Solución:

1. Transponemos \( 2 \) al miembro derecho: \( -3x \gt 14 - 2 \), es decir \( -3x \gt 12 \).
2. Dividimos entre \( -3 \). Como dividimos por un número negativo, invertimos el sentido de la desigualdad: \( x \lt \frac{12}{-3} \).
3. Simplificamos: \( x \lt -4 \).
4. Verificación: sustituimos \( x = -5 \) en el original: \( -3 \cdot (-5) + 2 = 17 \gt 14 \). Se cumple.

Respuesta: \( x \lt -4 \)

Ejemplo 3: Inecuación con fracción

Enunciado: Resuelve la inecuación: \( \frac{2x - 1}{3} \geq x - 4 \)

Solución:

1. Multiplicamos ambos miembros por \( 3 \) (número positivo, el sentido se conserva): \( 2x - 1 \geq 3(x - 4) \).
2. Desarrollamos el paréntesis: \( 2x - 1 \geq 3x - 12 \).
3. Transponemos términos: \( 2x - 3x \geq -12 + 1 \), es decir \( -x \geq -11 \).
4. Dividimos entre \( -1 \) e invertimos el sentido: \( x \leq 11 \).

Respuesta: \( x \leq 11 \)

Ejemplo 4: Sistema de inecuaciones — intersección

Enunciado: Encuentra todos los valores de \( x \) que satisfacen ambas condiciones: \( \begin{cases} 2x - 1 \gt 5 \\ x + 4 \leq 10 \end{cases} \)

Solución:

1. Resolvemos la primera: \( 2x \gt 6 \), luego \( x \gt 3 \).
2. Resolvemos la segunda: \( x \leq 6 \).
3. Se requiere que ambas condiciones se cumplan simultáneamente, por lo que tomamos la intersección: \( x \gt 3 \) y \( x \leq 6 \).
4. En la recta: punto abierto en \( 3 \), punto cerrado en \( 6 \), y el conjunto entre ellos.

Respuesta: \( 3 \lt x \leq 6 \)

Ejemplo 5: Inecuación con valor absoluto

Enunciado: Resuelve la inecuación: \( |2x + 4| \leq 6 \)

Solución:

1. Una expresión en valor absoluto menor o igual a \( 6 \) equivale a una doble desigualdad: \( -6 \leq 2x + 4 \leq 6 \).
2. Restamos \( 4 \) en las tres partes: \( -10 \leq 2x \leq 2 \).
3. Dividimos las tres partes entre \( 2 \) (positivo, el sentido se conserva): \( -5 \leq x \leq 1 \).
4. Verificación: \( x = 0 \) da \( |4| = 4 \leq 6 \), y en efecto \( 0 \) está dentro del conjunto solución.

Respuesta: \( -5 \leq x \leq 1 \)

✗ Error común: Se divide por un número negativo sin invertir el sentido de la desigualdad; por ejemplo, de \( -2x \gt 10 \) se obtiene \( x \gt -5 \).

✓ La forma correcta: En toda multiplicación o división por un número negativo es obligatorio invertir el sentido. La solución correcta es \( x \lt -5 \). Se puede verificar sustituyendo un número del conjunto solución.

✗ Error común: Se marca un punto cerrado cuando el signo es \( \gt \) o \( \lt \), incluyendo por error el extremo.

✓ La forma correcta: El signo estricto (\( \gt \) o \( \lt \)) se representa con un punto abierto (○), porque el extremo en sí no es solución. Solo \( \geq \) y \( \leq \) se representan con punto cerrado (●).

✗ Error común: En el valor absoluto de la forma \( |A| \leq k \) solo se escribe \( A \leq k \) y se omite la parte negativa.

✓ La forma correcta: \( |A| \leq k \) significa que la distancia al cero es menor que \( k \) en ambas direcciones, por lo que \( -k \leq A \leq k \). Siempre hay dos cotas.

Puntos clave de la inecuación lineal:

• Se resuelve como una ecuación: desarrollar paréntesis, eliminar fracciones, transponer términos, despejar la incógnita.
• Multiplicar o dividir por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad.
• Punto cerrado (●) para el extremo incluido (\( \geq, \leq \)); punto abierto (○) para el extremo excluido (\( \gt , \lt \)).
• Intersección (\( \cap \)) = conjunto común; unión (\( \cup \)) = todo lo que aparece en alguno de los conjuntos.
• Valor absoluto: \( |A| \leq k \Leftrightarrow -k \leq A \leq k \); \( |A| \geq k \Leftrightarrow A \geq k \) o \( A \leq -k \).