אי שוויון ליניארי הוא ביטוי מהצורה \( ax + b \gt 0 \) (או עם \( \lt , \geq, \leq \)), שבו הנעלם \( x \) מופיע בחזקה ראשונה בלבד.

ארבעת סימני אי השוויון:

• \( \gt \) — גדול ממש (לא כולל את הקצה).
• \( \lt \) — קטן ממש (לא כולל את הקצה).
• \( \geq \) — גדול או שווה (כולל את הקצה).
• \( \leq \) — קטן או שווה (כולל את הקצה).

הכלל החשוב ביותר: כאשר כופלים או מחלקים את שני האגפים במספר שלילי, יש להפוך את כיוון הסימן. הסיבה: הכפלה במספר שלילי משקפת את הישר ביחס לאפס, ולכן סדר הגדלים מתהפך. למשל \( 3 \lt 5 \) נכון, אך אם נכפול בְּ-\( (-1) \) נקבל \( -3 \) ו-\( -5 \), וכעת \( -3 \gt -5 \).

סימון על ציר המספרים: נקודה מלאה (●) מציינת קצה הנכלל בתחום (\( \geq \) או \( \leq \)), ונקודה ריקה (○) מציינת קצה שאינו נכלל (\( \gt \) או \( \lt \)).

חיתוך ואיחוד: כשנדרש שיתקיימו שני אי שוויונות בו זמנית — מחפשים את החיתוך (\( \cap \)), כלומר התחום המשותף. כשמספיק שיתקיים אחד מהם — מחפשים את האיחוד (\( \cup \)).

ערך מוחלט: \( |A| \leq k \) (עבור \( k \geq 0 \)) שקול ל-\( -k \leq A \leq k \), ואילו \( |A| \geq k \) שקול ל-\( A \geq k \) או \( A \leq -k \).

דוגמה 1: פתרון בסיסי והעברת אגפים

השאלה: פתרו את אי השוויון: \( 4x - 5 \leq 11 \)

פתרון:

1. נעביר את \( -5 \) לאגף ימין: \( 4x \leq 11 + 5 \), כלומר \( 4x \leq 16 \).
2. נחלק את שני האגפים ב-\( 4 \). המקדם חיובי, ולכן הסימן נשמר: \( x \leq 4 \).
3. על הציר: נקודה מלאה ב-\( 4 \) וחץ שמאלה (כל הערכים הקטנים או שווים ל-\( 4 \)).

תשובה: \( x \leq 4 \)

דוגמה 2: היפוך הסימן בחלוקה בשלילי

השאלה: פתרו את אי השוויון: \( -3x + 2 \gt 14 \)

פתרון:

1. נעביר את \( 2 \) לאגף ימין: \( -3x \gt 14 - 2 \), כלומר \( -3x \gt 12 \).
2. נחלק ב-\( -3 \). מכיוון שחילקנו במספר שלילי, נהפוך את כיוון הסימן: \( x \lt \frac{12}{-3} \).
3. נצמצם: \( x \lt -4 \).
4. בדיקה: נציב \( x = -5 \) במקור: \( -3 \cdot (-5) + 2 = 17 \gt 14 \). אכן מתקיים.

תשובה: \( x \lt -4 \)

דוגמה 3: אי שוויון עם שבר

השאלה: פתרו את אי השוויון: \( \frac{2x - 1}{3} \geq x - 4 \)

פתרון:

1. נכפול את שני האגפים ב-\( 3 \) (מספר חיובי, הסימן נשמר): \( 2x - 1 \geq 3(x - 4) \).
2. נפתח סוגריים: \( 2x - 1 \geq 3x - 12 \).
3. נעביר אגפים: \( 2x - 3x \geq -12 + 1 \), כלומר \( -x \geq -11 \).
4. נחלק ב-\( -1 \) ונהפוך את הסימן: \( x \leq 11 \).

תשובה: \( x \leq 11 \)

דוגמה 4: מערכת אי שוויונות — חיתוך תחומים

השאלה: מצאו את כל ערכי \( x \) המקיימים את שני התנאים: \( \begin{cases} 2x - 1 \gt 5 \\ x + 4 \leq 10 \end{cases} \)

פתרון:

1. נפתור את הראשון: \( 2x \gt 6 \) ולכן \( x \gt 3 \).
2. נפתור את השני: \( x \leq 6 \).
3. נדרש ששני התנאים יתקיימו יחד, לכן ניקח את החיתוך: \( x \gt 3 \) וגם \( x \leq 6 \).
4. על הציר: נקודה ריקה ב-\( 3 \), נקודה מלאה ב-\( 6 \), והתחום ביניהן.

תשובה: \( 3 \lt x \leq 6 \)

דוגמה 5: אי שוויון עם ערך מוחלט

השאלה: פתרו את אי השוויון: \( |2x + 4| \leq 6 \)

פתרון:

1. ביטוי בערך מוחלט הקטן או שווה ל-\( 6 \) שקול לתחום כפול: \( -6 \leq 2x + 4 \leq 6 \).
2. נחסר \( 4 \) מכל שלושת החלקים: \( -10 \leq 2x \leq 2 \).
3. נחלק את שלושת החלקים ב-\( 2 \) (חיובי, הסימן נשמר): \( -5 \leq x \leq 1 \).
4. בדיקה: \( x = 0 \) נותן \( |4| = 4 \leq 6 \), ואכן \( 0 \) בתוך התחום.

תשובה: \( -5 \leq x \leq 1 \)

✗ טעות נפוצה: מחלקים במספר שלילי ושוכחים להפוך את כיוון הסימן, למשל מ-\( -2x \gt 10 \) מקבלים \( x \gt -5 \).

✓ הדרך הנכונה: בכל כפל או חילוק במספר שלילי חובה להפוך את הסימן. הפתרון הנכון הוא \( x \lt -5 \). אפשר לבדוק עם הצבה של מספר מהתחום.

✗ טעות נפוצה: מסמנים נקודה מלאה כאשר הסימן הוא \( \gt \) או \( \lt \), ובכך כוללים בטעות את הקצה.

✓ הדרך הנכונה: סימן ממש (\( \gt \) או \( \lt \)) מסומן בנקודה ריקה (○), כי הקצה עצמו אינו פתרון. רק \( \geq \) ו-\( \leq \) מסומנים בנקודה מלאה (●).

✗ טעות נפוצה: בערך מוחלט מהצורה \( |A| \leq k \) כותבים רק \( A \leq k \) ומפספסים את החלק השלילי.

✓ הדרך הנכונה: \( |A| \leq k \) פירושו שהמרחק מאפס קטן מ-\( k \) לשני הכיוונים, ולכן \( -k \leq A \leq k \). תמיד יש שני גבולות.

נקודות מפתח לאי שוויון ליניארי:

• פותרים כמו משוואה: פתיחת סוגריים, מחלקים, העברת אגפים, בידוד הנעלם.
• כפל או חילוק במספר שלילי — הופכים את כיוון אי השוויון.
• נקודה מלאה (●) לקצה הנכלל (\( \geq, \leq \)); נקודה ריקה (○) לקצה שאינו נכלל (\( \gt , \lt \)).
• חיתוך (\( \cap \)) = התחום המשותף; איחוד (\( \cup \)) = כל מה שמופיע באחד התחומים.
• ערך מוחלט: \( |A| \leq k \Leftrightarrow -k \leq A \leq k \); \( |A| \geq k \Leftrightarrow A \geq k \) או \( A \leq -k \).