Une inéquation linéaire est une expression de la forme \( ax + b \gt 0 \) (ou avec \( \lt , \geq, \leq \)), où l'inconnue \( x \) n'apparaît qu'à la première puissance.

Les quatre signes d'inégalité :

• \( \gt \) — strictement supérieur (extrémité exclue).
• \( \lt \) — strictement inférieur (extrémité exclue).
• \( \geq \) — supérieur ou égal (extrémité incluse).
• \( \leq \) — inférieur ou égal (extrémité incluse).

La règle la plus importante : lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, on doit inverser le sens du signe d'inégalité. La raison : multiplier par un nombre négatif reflète la droite des réels par rapport à zéro, ce qui renverse l'ordre des grandeurs. Par exemple \( 3 \lt 5 \) est vrai, mais en multipliant par \( (-1) \) on obtient \( -3 \) et \( -5 \), et maintenant \( -3 \gt -5 \).

Représentation sur la droite numérique : un point plein (●) indique une extrémité incluse (\( \geq \) ou \( \leq \)), et un point creux (○) indique une extrémité exclue (\( \gt \) ou \( \lt \)).

Intersection et union : lorsqu'il faut que deux inéquations soient vérifiées simultanément, on cherche l'intersection (\( \cap \)), c'est-à-dire l'ensemble commun. Lorsqu'il suffit qu'une seule soit vérifiée, on cherche l'union (\( \cup \)).

Valeur absolue : \( |A| \leq k \) (pour \( k \geq 0 \)) équivaut à \( -k \leq A \leq k \), tandis que \( |A| \geq k \) équivaut à \( A \geq k \) ou \( A \leq -k \).

Exemple 1 : Résolution de base et transposition

Énoncé : Résoudre l'inéquation : \( 4x - 5 \leq 11 \)

Solution :

1. On transpose \( -5 \) au membre droit : \( 4x \leq 11 + 5 \), soit \( 4x \leq 16 \).
2. On divise les deux membres par \( 4 \). Le coefficient est positif, donc le signe est conservé : \( x \leq 4 \).
3. Sur la droite : point plein en \( 4 \) et flèche vers la gauche (toutes les valeurs inférieures ou égales à \( 4 \)).

Réponse : \( x \leq 4 \)

Exemple 2 : Inversion du signe lors d'une division par un négatif

Énoncé : Résoudre l'inéquation : \( -3x + 2 \gt 14 \)

Solution :

1. On transpose \( 2 \) au membre droit : \( -3x \gt 14 - 2 \), soit \( -3x \gt 12 \).
2. On divise par \( -3 \). Comme on divise par un nombre négatif, on inverse le sens du signe : \( x \lt \frac{12}{-3} \).
3. On simplifie : \( x \lt -4 \).
4. Vérification : on substitue \( x = -5 \) dans l'expression d'origine : \( -3 \cdot (-5) + 2 = 17 \gt 14 \). C'est bien vérifié.

Réponse : \( x \lt -4 \)

Exemple 3 : Inéquation avec une fraction

Énoncé : Résoudre l'inéquation : \( \frac{2x - 1}{3} \geq x - 4 \)

Solution :

1. On multiplie les deux membres par \( 3 \) (nombre positif, le signe est conservé) : \( 2x - 1 \geq 3(x - 4) \).
2. On développe : \( 2x - 1 \geq 3x - 12 \).
3. On transpose : \( 2x - 3x \geq -12 + 1 \), soit \( -x \geq -11 \).
4. On divise par \( -1 \) et on inverse le signe : \( x \leq 11 \).

Réponse : \( x \leq 11 \)

Exemple 4 : Système d'inéquations — intersection

Énoncé : Trouver toutes les valeurs de \( x \) vérifiant les deux conditions : \( \begin{cases} 2x - 1 \gt 5 \\ x + 4 \leq 10 \end{cases} \)

Solution :

1. On résout la première : \( 2x \gt 6 \), donc \( x \gt 3 \).
2. On résout la seconde : \( x \leq 6 \).
3. Les deux conditions doivent être satisfaites simultanément, on prend donc l'intersection : \( x \gt 3 \) et \( x \leq 6 \).
4. Sur la droite : point creux en \( 3 \), point plein en \( 6 \), et l'intervalle entre les deux.

Réponse : \( 3 \lt x \leq 6 \)

Exemple 5 : Inéquation avec valeur absolue

Énoncé : Résoudre l'inéquation : \( |2x + 4| \leq 6 \)

Solution :

1. Une expression en valeur absolue inférieure ou égale à \( 6 \) équivaut à un double encadrement : \( -6 \leq 2x + 4 \leq 6 \).
2. On soustrait \( 4 \) de chacune des trois parties : \( -10 \leq 2x \leq 2 \).
3. On divise les trois parties par \( 2 \) (positif, le signe est conservé) : \( -5 \leq x \leq 1 \).
4. Vérification : \( x = 0 \) donne \( |4| = 4 \leq 6 \), et \( 0 \) appartient bien à l'intervalle.

Réponse : \( -5 \leq x \leq 1 \)

✗ Erreur fréquente : On divise par un nombre négatif sans inverser le sens du signe, par exemple à partir de \( -2x \gt 10 \) on obtient \( x \gt -5 \).

✓ La bonne méthode : Toute multiplication ou division par un nombre négatif oblige à inverser le signe. La solution correcte est \( x \lt -5 \). On peut vérifier en substituant un nombre de l'ensemble solution.

✗ Erreur fréquente : On représente l'extrémité par un point plein alors que le signe est \( \gt \) ou \( \lt \), incluant ainsi par erreur l'extrémité.

✓ La bonne méthode : Un signe strict (\( \gt \) ou \( \lt \)) se représente par un point creux (○), car l'extrémité elle-même n'est pas solution. Seuls \( \geq \) et \( \leq \) se représentent par un point plein (●).

✗ Erreur fréquente : Pour une valeur absolue de la forme \( |A| \leq k \), on écrit seulement \( A \leq k \) et on oublie la partie négative.

✓ La bonne méthode : \( |A| \leq k \) signifie que la distance à zéro est inférieure à \( k \) dans les deux sens, donc \( -k \leq A \leq k \). Il y a toujours deux bornes.

Points clés sur l'inéquation linéaire :

• On résout comme une équation : développement, division, transposition, isolation de l'inconnue.
• Multiplication ou division par un nombre négatif — on inverse le sens de l'inégalité.
• Point plein (●) pour l'extrémité incluse (\( \geq, \leq \)) ; point creux (○) pour l'extrémité exclue (\( \gt , \lt \)).
• Intersection (\( \cap \)) = ensemble commun ; union (\( \cup \)) = tout ce qui apparaît dans l'un des ensembles.
• Valeur absolue : \( |A| \leq k \Leftrightarrow -k \leq A \leq k \) ; \( |A| \geq k \Leftrightarrow A \geq k \) ou \( A \leq -k \).