المتباينة الخطية هي تعبير من الصورة \( ax + b \gt 0 \) (أو مع \( \lt , \geq, \leq \))، حيث يظهر المجهول \( x \) بالدرجة الأولى فقط.

إشارات المتباينة الأربع:

• \( \gt \) — أكبر من (لا يشمل الحد).
• \( \lt \) — أصغر من (لا يشمل الحد).
• \( \geq \) — أكبر من أو يساوي (يشمل الحد).
• \( \leq \) — أصغر من أو يساوي (يشمل الحد).

القاعدة الأهم: عند ضرب طرفَي المتباينة أو قسمتهما على عدد سالب، يجب عكس اتجاه الإشارة. والسبب: الضرب في عدد سالب يعكس مواضع الأعداد على المحور بالنسبة للصفر، فيتغير ترتيب الأحجام. مثلًا \( 3 \lt 5 \) صحيحة، لكن بالضرب في \( (-1) \) نحصل على \( -3 \) و \( -5 \)، وعندئذٍ \( -3 \gt -5 \).

التمثيل على محور الأعداد: نقطة مملوءة (●) تدل على حد مشمول في المجال (\( \geq \) أو \( \leq \))، ونقطة فارغة (○) تدل على حد غير مشمول (\( \gt \) أو \( \lt \)).

التقاطع والاتحاد: عندما يُشترط تحقق شرطين في آنٍ واحد — نبحث عن التقاطع (\( \cap \))، أي المجال المشترك. وعندما يكفي تحقق أحدهما — نبحث عن الاتحاد (\( \cup \)).

القيمة المطلقة: \( |A| \leq k \) (لـ \( k \geq 0 \)) تعادل \( -k \leq A \leq k \)، في حين أن \( |A| \geq k \) تعادل \( A \geq k \) أو \( A \leq -k \).

مثال 1: حل أساسي ونقل الحدود

السؤال: حل المتباينة: \( 4x - 5 \leq 11 \)

الحل:

1. ننقل \( -5 \) إلى الطرف الأيمن: \( 4x \leq 11 + 5 \)، أي \( 4x \leq 16 \).
2. نقسم الطرفين على \( 4 \). المعامل موجب، وبالتالي تبقى الإشارة: \( x \leq 4 \).
3. على المحور: نقطة مملوءة عند \( 4 \) وسهم إلى اليسار (جميع القيم الأصغر من أو تساوي \( 4 \)).

الإجابة: \( x \leq 4 \)

مثال 2: عكس الإشارة عند القسمة على سالب

السؤال: حل المتباينة: \( -3x + 2 \gt 14 \)

الحل:

1. ننقل \( 2 \) إلى الطرف الأيمن: \( -3x \gt 14 - 2 \)، أي \( -3x \gt 12 \).
2. نقسم على \( -3 \). لأننا قسمنا على عدد سالب، نعكس اتجاه الإشارة: \( x \lt \frac{12}{-3} \).
3. نبسّط: \( x \lt -4 \).
4. التحقق: نعوّض \( x = -5 \) في الأصل: \( -3 \cdot (-5) + 2 = 17 \gt 14 \). المتباينة محققة.

الإجابة: \( x \lt -4 \)

مثال 3: متباينة بكسر

السؤال: حل المتباينة: \( \frac{2x - 1}{3} \geq x - 4 \)

الحل:

1. نضرب الطرفين في \( 3 \) (عدد موجب، الإشارة محفوظة): \( 2x - 1 \geq 3(x - 4) \).
2. نفتح الأقواس: \( 2x - 1 \geq 3x - 12 \).
3. ننقل الحدود: \( 2x - 3x \geq -12 + 1 \)، أي \( -x \geq -11 \).
4. نقسم على \( -1 \) ونعكس الإشارة: \( x \leq 11 \).

الإجابة: \( x \leq 11 \)

مثال 4: منظومة متباينات — تقاطع المجالات

السؤال: أوجد جميع قيم \( x \) التي تحقق الشرطين: \( \begin{cases} 2x - 1 \gt 5 \\ x + 4 \leq 10 \end{cases} \)

الحل:

1. نحل الأولى: \( 2x \gt 6 \) وبالتالي \( x \gt 3 \).
2. نحل الثانية: \( x \leq 6 \).
3. يُشترط تحقق الشرطين معًا، لذا نأخذ التقاطع: \( x \gt 3 \) و \( x \leq 6 \).
4. على المحور: نقطة فارغة عند \( 3 \)، نقطة مملوءة عند \( 6 \)، والمجال بينهما.

الإجابة: \( 3 \lt x \leq 6 \)

مثال 5: متباينة بقيمة مطلقة

السؤال: حل المتباينة: \( |2x + 4| \leq 6 \)

الحل:

1. تعبير القيمة المطلقة الأصغر من أو يساوي \( 6 \) يعادل مجالًا مزدوجًا: \( -6 \leq 2x + 4 \leq 6 \).
2. نطرح \( 4 \) من الأجزاء الثلاثة: \( -10 \leq 2x \leq 2 \).
3. نقسم الأجزاء الثلاثة على \( 2 \) (موجب، الإشارة محفوظة): \( -5 \leq x \leq 1 \).
4. التحقق: \( x = 0 \) يعطي \( |4| = 4 \leq 6 \)، و \( 0 \) داخل المجال فعلًا.

الإجابة: \( -5 \leq x \leq 1 \)

✗ خطأ شائع: القسمة على عدد سالب دون عكس اتجاه الإشارة، مثلًا من \( -2x \gt 10 \) الحصول على \( x \gt -5 \).

✓ الطريقة الصحيحة: في كل ضرب أو قسمة على عدد سالب يجب عكس الإشارة. الحل الصحيح هو \( x \lt -5 \). يمكن التحقق بتعويض عدد من المجال.

✗ خطأ شائع: رسم نقطة مملوءة عندما تكون الإشارة \( \gt \) أو \( \lt \)، مما يشمل الحد بالخطأ.

✓ الطريقة الصحيحة: الإشارة الصارمة (\( \gt \) أو \( \lt \)) تُمثَّل بنقطة فارغة (○)، لأن الحد نفسه ليس حلًا. فقط \( \geq \) و \( \leq \) تُمثَّلان بنقطة مملوءة (●).

✗ خطأ شائع: في القيمة المطلقة من الصورة \( |A| \leq k \) الاكتفاء بكتابة \( A \leq k \) وإغفال الجزء السالب.

✓ الطريقة الصحيحة: \( |A| \leq k \) تعني أن المسافة من الصفر أقل من \( k \) في الاتجاهين، لذا \( -k \leq A \leq k \). دائمًا يوجد حدّان.

النقاط الأساسية للمتباينة الخطية:

• نحل كالمعادلة: نفتح الأقواس، نقسم، ننقل الحدود، نعزل المجهول.
• الضرب أو القسمة على عدد سالب — يُعكس اتجاه المتباينة.
• نقطة مملوءة (●) للحد المشمول (\( \geq, \leq \))؛ نقطة فارغة (○) للحد غير المشمول (\( \gt , \lt \)).
• التقاطع (\( \cap \)) = المجال المشترك؛ الاتحاد (\( \cup \)) = كل ما يظهر في أحد المجالين.
• القيمة المطلقة: \( |A| \leq k \Leftrightarrow -k \leq A \leq k \)؛ \( |A| \geq k \Leftrightarrow A \geq k \) أو \( A \leq -k \).