Porcentajes — descuentos, precios y cálculo

Porcentajes — descuentos, precios y cálculo

Los porcentajes son una forma práctica de decir «de cada cien». Una vez que entiendes esta idea, calcular descuentos en una tienda, notas en un examen o propinas en un restaurante se vuelve muy sencillo. En esta página aprenderás a calcular el porcentaje de un número y a encontrar el precio después de un descuento.

Contexto y definiciones básicas

¿Qué es un porcentaje? Un porcentaje (%) significa partes de cien. Por ejemplo, \( 25\% \) significa 25 de cada 100.

Fórmula del porcentaje de un número:

\[ \text{Parte} = \frac{\text{Porcentaje}}{100} \times \text{Total} \]

Por ejemplo: el \( 20\% \) de 80 es \( \frac{20}{100} \times 80 = 16 \).

Cálculo del precio después del descuento:

\[ \text{Precio con descuento} = \text{Precio original} - \frac{\text{Descuento}}{100} \times \text{Precio original} \]

O de forma abreviada: \[ \text{Precio con descuento} = \text{Precio original} \times \left(1 - \frac{\text{Descuento}}{100}\right) \]

PorcentajeComo fracciónComo decimal
\( 10\% \)\( \frac{1}{10} \)0,1
\( 25\% \)\( \frac{1}{4} \)0,25
\( 50\% \)\( \frac{1}{2} \)0,5
\( 75\% \)\( \frac{3}{4} \)0,75

Pasos de resolución

  1. Paso 1 — Identifica el «total» (el número del que se toma el porcentaje) y el porcentaje requerido.
  2. Paso 2 — Escribe el porcentaje como fracción con denominador 100: por ejemplo \( 30\% = \frac{30}{100} \).
  3. Paso 3 — Multiplica la fracción por el total: \( \frac{30}{100} \times 60 = 18 \).
  4. Paso 4 — Si preguntan por el descuento: resta el valor calculado al precio original.
  5. Paso 5 — Comprueba: ¿tiene sentido el resultado? (El 10% de 60 es 6, así que el 30% debe ser 18. ¡Correcto!)

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Calcular el porcentaje de un número — nota

Enunciado: Un examen tiene 40 preguntas. Una alumna respondió correctamente el \( 75\% \) de las preguntas. ¿Cuántas preguntas respondió bien?

Solución:

  1. El total es 40 preguntas; el porcentaje requerido es \( 75\% \).
  2. Se escribe como fracción: \( \frac{75}{100} \).
  3. Se calcula: \( \frac{75}{100} \times 40 = 0{,}75 \times 40 = 30 \).

Respuesta: La alumna respondió correctamente 30 preguntas.

Ejemplo 2: Descuento en una tienda de ropa

Enunciado: Una camiseta cuesta 120 euros. Al final de temporada hay un descuento del \( 30\% \). ¿Cuánto pagarás?

Solución:

  1. Se calcula el importe del descuento: \( \frac{30}{100} \times 120 = 36 \) euros.
  2. Precio con descuento: \( 120 - 36 = 84 \) euros.
  3. También se puede hacer de forma breve: \( 120 \times 0{,}70 = 84 \) euros.

Respuesta: Pagarás 84 euros.

Ejemplo 3: Descuento en un juguete

Enunciado: Un robot de juguete cuesta 250 euros. Está en oferta con un descuento del \( 20\% \). ¿Cuál es el nuevo precio?

Solución:

  1. Importe del descuento: \( \frac{20}{100} \times 250 = 50 \) euros.
  2. Nuevo precio: \( 250 - 50 = 200 \) euros.

Respuesta: El nuevo precio es 200 euros.

Ejemplo 4: Encontrar el porcentaje a partir de dos números

Enunciado: De 80 alumnos en clase, 20 viven a más de 2 km del colegio. ¿Qué porcentaje representa eso?

Solución:

  1. Se escribe la fracción: \( \frac{20}{80} \).
  2. Se divide: \( \frac{20}{80} = 0{,}25 \).
  3. Se multiplica por 100: \( 0{,}25 \times 100 = 25\% \).

Respuesta: El 25% de los alumnos vive lejos del colegio.

Ejemplo 5: Añadir un porcentaje — precio tras una subida

Enunciado: Una entrada de cine cuesta 40 euros. El precio subió un \( 15\% \). ¿Cuál es el nuevo precio?

Solución:

  1. Se calcula el importe adicional: \( \frac{15}{100} \times 40 = 6 \) euros.
  2. Nuevo precio: \( 40 + 6 = 46 \) euros.
  3. También: \( 40 \times 1{,}15 = 46 \) euros.

Respuesta: El nuevo precio es 46 euros.

Errores comunes

✗ Error común: Se calcula el \( 20\% \) de 50 y se obtiene 20 (porque se olvida dividir entre 100 y se hace \( 20 \times 50 \)).

✓ La forma correcta: Siempre divide el porcentaje entre 100 antes de multiplicar: \( \frac{20}{100} \times 50 = 10 \). Comprueba: el 10% de 50 es 5, por lo tanto el 20% es 10. ¡Tiene sentido!

✗ Error común: Se olvida restar el descuento al precio original y se indica el importe del descuento como precio final.

✓ La forma correcta: El descuento es lo que ahorras, no lo que pagas. Siempre: precio final = precio original menos el importe del descuento.

✗ Error común: En un problema de «¿qué porcentaje es?», se divide el número mayor entre el menor en lugar de al revés.

✓ La forma correcta: Siempre divide la «parte» entre el «total»: \( \frac{\text{parte}}{\text{total}} \times 100 \). Por ejemplo: 20 de 80 es \( \frac{20}{80} \times 100 = 25\% \).

Consejos de práctica

  • Truco rápido: el \( 10\% \) de un número = dividir entre 10. Por lo tanto, el \( 30\% \) = tres veces el \( 10\% \).
  • El \( 50\% \) es exactamente la mitad; el \( 25\% \) es un cuarto; el \( 75\% \) son tres cuartos — vale la pena memorizar estos valores.
  • Para una comprobación rápida: estima antes de calcular con precisión, así detectarás errores grandes.
  • Si el \( p\% \) de \( N \) da un resultado mayor que \( N \), seguro hay un error de cálculo.

Resumen y fórmulas clave

  • \( p\% \) de \( N \) = \( \frac{p}{100} \times N \)
  • Precio con descuento = precio original \( \times \left(1 - \frac{p}{100}\right) \)
  • Precio tras subida = precio original \( \times \left(1 + \frac{p}{100}\right) \)
  • ¿Qué porcentaje es?: \( \frac{\text{parte}}{\text{total}} \times 100 \)
  • Atajos útiles: 10%=÷10, 50%=÷2, 25%=÷4