Aire et périmètre du rectangle
Combien de carreaux faut-il pour couvrir une pièce ? Quelle longueur de clôture pour un jardin ? Ces questions se résolvent avec deux notions : le périmètre (la distance autour) et l'aire (la surface à l'intérieur). Sur cette page, on apprend à calculer les deux pour un rectangle et un carré.
Contexte et définitions de base
Périmètre = somme de tous les côtés. Pour un rectangle :
\[ P = 2 \times (a + b) \]
où \(a\) = longueur et \(b\) = largeur.
Aire = quantité de surface à l'intérieur de la figure. Pour un rectangle :
\[ S = a \times b \]
Unités d'aire : cm carré (\(\text{cm}^2\)), m carré (\(\text{m}^2\)), etc.
Le carré est un rectangle dont tous les côtés sont égaux (\(a = b\)) :
\[ P_{\text{carré}} = 4a \qquad S_{\text{carré}} = a^2 \]
| Mesure | Formule — rectangle | Formule — carré |
|---|---|---|
| Périmètre | \(2(a+b)\) | \(4a\) |
| Aire | \(a \times b\) | \(a^2\) |
Étapes de résolution
- Étape 1 — Identifie la figure : rectangle (longueur ≠ largeur en général) ou carré (tous les côtés égaux).
- Étape 2 — Lis ce qu'on demande : périmètre (le contour) ou aire (la surface intérieure).
- Étape 3 — Vérifie les unités : toutes les mesures sont-elles dans les mêmes unités ? Sinon, convertis d'abord (par exemple cm en m).
- Étape 4 — Calcule avec la formule : périmètre = \(2(a+b)\), aire = \(a \times b\).
- Étape 5 — Écris les unités ! L'aire est toujours en unités carrées (\(\text{cm}^2\), \(\text{m}^2\)) — le périmètre en unités de longueur.
Exemples résolus
Exemple 1 : Périmètre d'un rectangle
Énoncé : Un rectangle a une longueur de \(8\) cm et une largeur de \(5\) cm. Calcule son périmètre.
Solution :
- \(P = 2 \times (a + b) = 2 \times (8 + 5)\).
- \(8 + 5 = 13\).
- \(P = 2 \times 13 = 26\) cm.
Réponse : \( P = 26 \) cm.
Exemple 2 : Aire d'un rectangle
Énoncé : Même rectangle : longueur \(8\) cm, largeur \(5\) cm. Calcule son aire.
Solution :
- \(S = a \times b = 8 \times 5 = 40\).
- Unités : cm × cm = cm carré.
Réponse : \( S = 40 \) cm\(^2\).
Exemple 3 : Carré — aire et périmètre
Énoncé : Un carré a un côté de \(6\) m. Calcule son aire et son périmètre.
Solution :
- Périmètre : \(P = 4 \times 6 = 24\) m.
- Aire : \(S = 6^2 = 36\) m carré.
Réponse : \( P = 24 \) m, \( S = 36 \) m\(^2\).
Exemple 4 : Trouver le côté manquant à partir de l'aire
Énoncé : L'aire d'un rectangle est \(48\) cm\(^2\). Sa longueur est \(8\) cm. Quelle est sa largeur ?
Solution :
- \(S = a \times b\), donc \(b = S \div a\).
- \(b = 48 \div 8 = 6\) cm.
- Vérification : \(8 \times 6 = 48\). Correct !
Réponse : La largeur est \(6\) cm.
Exemple 5 : Problème de mots — carrelage
Énoncé : Une pièce a une longueur de \(5\) m et une largeur de \(4\) m. Combien de carreaux de \(1\) m carré faut-il pour la couvrir ?
Solution :
- Aire de la pièce : \(5 \times 4 = 20\) m carré.
- Chaque carreau = \(1\) m\(^2\).
- Nombre de carreaux = aire ÷ aire d'un carreau = \(20 \div 1 = 20\).
Réponse : Il faut \(20\) carreaux.
Erreurs fréquentes
✗ Erreur fréquente : On confond aire et périmètre : on calcule \(a \times b\) quand on demande le périmètre.
✓ La bonne méthode : Périmètre = le contour (un fil autour) = \(2(a+b)\). Aire = la quantité à l'intérieur = \(a \times b\). Demande-toi : « Est-ce qu'on peint l'intérieur (aire) ou qu'on mesure le bord (périmètre) ? »
✗ Erreur fréquente : On oublie d'écrire les unités carrées pour l'aire : on écrit « 40 cm » au lieu de « 40 cm² ».
✓ La bonne méthode : L'aire se mesure toujours en unités carrées. cm × cm = cm². Si c'est m × m → m².
✗ Erreur fréquente : Pour le périmètre, on écrit \(a + b\) et non \(2(a+b)\) — on oublie les côtés parallèles.
✓ La bonne méthode : Un rectangle a 4 côtés : deux longueurs et deux largeurs. Donc \(P = a + b + a + b = 2a + 2b = 2(a+b)\).
Conseils d'entraînement
- Astuce — Pour retenir : périmètre = « pourtour » = tout autour = additionner les côtés. Aire = « surface » = l'intérieur = multiplier.
- Astuce — Pour le carré : tous les côtés sont égaux ! Périmètre = 4 × côté. Facile à retenir.
- Astuce — Vérifie toujours les unités : si la question est en m, l'aire est en m² et le périmètre en m.
- Astuce — Pour les problèmes de carrelage/peinture : c'est toujours l'aire. Pour les problèmes de clôture/cadre/couture : c'est toujours le périmètre.
Résumé et formules clés
- Périmètre du rectangle : \(P = 2(a+b)\) — unités de longueur.
- Aire du rectangle : \(S = a \times b\) — unités carrées (\(\text{cm}^2, \text{m}^2\)).
- Carré : \(P = 4a\), \(S = a^2\).
- Trouver un côté manquant : \(b = S \div a\) (si l'aire est connue), ou \(b = P/2 - a\) (si le périmètre est connu).