Translations de graphe — verticale et horizontale

Comprendre les translations d'un graphe de fonction permet de tracer et d'analyser des fonctions complexes à partir d'une fonction de base connue, sans recalculer un tableau de valeurs. Cette page présente les deux types de translations — verticale et horizontale — explique pourquoi la translation horizontale agit « à l'inverse » de ce que l'on pourrait croire, et s'entraîne à identifier et combiner des translations.

Contexte et définitions de base

Une translation (transformation) déplace le graphe dans le plan sans en modifier la forme. Il existe deux types de base.

Translation verticale : \(g(x)=f(x)+k\). Le graphe se déplace vers le haut si \(k \gt 0\) et vers le bas si \(k \lt 0\). C'est intuitif : on ajoute \(k\) à chaque valeur de \(y\), donc chaque point monte (ou descend) de \(k\) unités.

Translation horizontale : \(g(x)=f(x-h)\). Le graphe se déplace vers la droite de \(h\) unités si \(h \gt 0\), et vers la gauche si \(h \lt 0\). Cela semble paradoxal, mais l'explication est simple : pour que l'expression intérieure \(x-h\) donne la même valeur qu'avant, il faut que \(x\) soit plus grand de \(h\) — le graphe « attend » donc une valeur de \(x\) plus tardive, c'est-à-dire se décale vers la droite.

Transformation	Effet sur le graphe
\(f(x)+k,\ k \gt 0\)	Translation vers le haut de \(k\) unités
\(f(x)-k,\ k \gt 0\)	Translation vers le bas de \(k\) unités
\(f(x-h),\ h \gt 0\)	Translation vers la droite de \(h\) unités
\(f(x+h),\ h \gt 0\)	Translation vers la gauche de \(h\) unités

Un point \((a,b)\) du graphe d'origine devient le point \((a+h,\ b+k)\) sous la transformation \(f(x-h)+k\).

Étapes de résolution

Étape 1 — Identifier la fonction de base \(f(x)\) dont on part (par exemple \(x^2\) ou \(x\)).
Étape 2 — Repérer une addition ou soustraction à l'extérieur de \(f\) (comme \(+k\)) — c'est une translation verticale, dans le sens indiqué par le signe.
Étape 3 — Repérer une modification à l'intérieur des parenthèses de la variable (comme \(x-h\)) — c'est une translation horizontale, dans le sens opposé au signe de l'expression.
Étape 4 — S'il y a plusieurs ajouts verticaux, les regrouper en un seul nombre \(k\) (addition simple).
Étape 5 — Transcrire la translation en termes de points : chaque point \((a,b)\) devient \((a+h,\ b+k)\).
Étape 6 — Vérifier sur un point caractéristique connu (comme le sommet ou l'intersection avec les axes).

Exemples résolus

Exemple 1 : Translation verticale d'une parabole

Énoncé : Soit \(f(x)=x^2\). Décrire le graphe de \(g(x)=f(x)+4=x^2+4\) et préciser son sommet.

Solution :

L'ajout \(+4\) se trouve à l'extérieur de \(f\), il s'agit donc d'une translation verticale.
Comme \(4 \gt 0\), le graphe se déplace de \(4\) unités vers le haut.
Le sommet de \(x^2\) est \((0,0)\) ; il se déplace verticalement en \((0,4)\).
La forme de la parabole est conservée — seul son emplacement change.

Réponse : Le graphe est \(x^2\) translaté de \(4\) unités vers le haut ; sommet en \((0,4)\).

Exemple 2 : Translation horizontale — le sens « paradoxal »

Énoncé : Soit \(f(x)=x^2\). Dans quel sens le graphe de \(g(x)=f(x-3)=(x-3)^2\) se déplace-t-il ?

Solution :

La modification \(x-3\) se trouve à l'intérieur des parenthèses, il s'agit donc d'une translation horizontale.
Malgré le signe moins, la translation est vers la droite de \(3\) unités.
Explication : pour que l'expression intérieure vaille \(0\) (sommet de la parabole), il faut \(x=3\) ; le sommet passe donc de \((0,0)\) à \((3,0)\).
Vérification avec un autre point : pour la valeur d'origine \(x=1\) on obtenait \(y=1\) ; désormais cette valeur est atteinte en \(x=4\) — translation vers la droite confirmée.

Réponse : Le graphe se déplace de \(3\) unités vers la droite ; sommet en \((3,0)\).

Exemple 3 : Regroupement de plusieurs translations verticales

Énoncé : Soit \(g(x)=f(x)+5-8\). Décrire la translation verticale totale par rapport à \(f(x)\).

Solution :

Les deux termes \(+5\) et \(-8\) sont des translations verticales ; on peut les regrouper.
Calcul : \(5-8=-3\).
On obtient \(g(x)=f(x)-3\).
La constante étant négative, le graphe se déplace de \(3\) unités vers le bas.

Réponse : Translation totale de \(3\) unités vers le bas (\(g(x)=f(x)-3\)).

Exemple 4 : Combinaison de translations verticale et horizontale

Énoncé : Soit \(f(x)=x^2\) de sommet \((0,0)\). Trouver le sommet du graphe de \(g(x)=(x+2)^2-5\).

Solution :

L'expression intérieure \(x+2\) s'écrit \(x-(-2)\), ce qui correspond à une translation horizontale de \(2\) unités vers la gauche.
Le terme \(-5\) à l'extérieur de la puissance est une translation verticale de \(5\) unités vers le bas.
Le sommet d'origine \((0,0)\) devient \((0-2,\ 0-5)\).
On obtient le sommet \((-2,-5)\).

Réponse : Le sommet est \((-2,-5)\).

Exemple 5 : Déterminer la constante de translation à partir d'un point

Énoncé : On sait que \(f(3)=6\), et le graphe de \(g(x)=f(x)+k\) passe par le point \((3,10)\). Trouver \(k\).

Solution :

Substituer \(x=3\) dans \(g\) : \(g(3)=f(3)+k\).
Utiliser la donnée \(f(3)=6\) et le fait que \(g(3)=10\) : \(10=6+k\).
Isoler : \(k=10-6=4\).
Le graphe a donc été translaté de \(4\) unités vers le haut.

Réponse : \(k=4\).

Erreurs fréquentes

✗ Erreur fréquente : On pense que \(f(x-h)\) déplace le graphe vers la gauche (dans le sens du signe moins), car « moins c'est à gauche ».

✓ La bonne méthode : La translation horizontale agit à l'inverse : \(f(x-h)\) avec \(h \gt 0\) déplace le graphe vers la droite. Vérifier avec le sommet : dans \((x-3)^2\), le sommet est en \(x=3\), donc vers la droite.

✗ Erreur fréquente : On confond translation verticale et horizontale — on traite \(+k\) à l'extérieur de la fonction comme un décalage latéral.

✓ La bonne méthode : Une modification extérieure à \(f\) (comme \(+k\)) agit sur \(y\) — c'est une translation verticale. Une modification à l'intérieur des parenthèses de la variable agit sur \(x\) — c'est une translation horizontale.

✗ Erreur fréquente : Quand on combine plusieurs translations verticales, on les additionne avec un mauvais signe, par exemple \(+5-8=+3\).

✓ La bonne méthode : On regroupe les constantes par addition en respectant les signes : \(5-8=-3\). Un résultat négatif signifie une translation vers le bas.

Conseils d'entraînement

Conseil — Retenez la règle : « à l'extérieur des parenthèses → vertical, dans le sens du signe ; à l'intérieur des parenthèses → horizontal, sens opposé au signe ».
Conseil — Pour identifier le sens horizontal, demandez-vous : « quelle valeur de \(x\) annule l'expression intérieure ? » — c'est là que se trouve le sommet ou le point de référence.
Conseil — Suivez un seul point caractéristique (sommet, intersection avec un axe) plutôt que tout le graphe — c'est plus simple et plus rapide.
Conseil — La forme générale \(g(x)=f(x-h)+k\) transforme tout point \((a,b)\) en \((a+h,\ b+k)\) — une seule formule à retenir.

Résumé et formules clés

Les deux types de translations :

Translation verticale : \(g(x)=f(x)+k\) — vers le haut si \(k \gt 0\), vers le bas si \(k \lt 0\) (selon le signe).
Translation horizontale : \(g(x)=f(x-h)\) — vers la droite si \(h \gt 0\), vers la gauche si \(h \lt 0\) (sens opposé au signe).
Combinaison : \(g(x)=f(x-h)+k\) transforme \((a,b)\) en \((a+h,\ b+k)\).
Plusieurs translations verticales se regroupent par addition : \(+5-8=-3\).