الإزاحة (التحويل) تُغيّر موضع الرسم البياني في المستوى دون تغيير شكله. ثمة نوعان أساسيان.

الإزاحة الرأسية: \(g(x)=f(x)+k\). يتحرك الرسم للأعلى إذا كان \(k \gt 0\) وللأسفل إذا كان \(k \lt 0\). هذا بديهي: نضيف \(k\) لكل قيمة \(y\)، فترتفع كل نقطة (أو تنخفض) بمقدار \(k\).

الإزاحة الأفقية: \(g(x)=f(x-h)\). يتحرك الرسم يمينًا بمقدار \(h\) إذا كان \(h \gt 0\)، ويسارًا إذا كان \(h \lt 0\). يبدو هذا معكوسًا، لكن التفسير بسيط: لكي يعطي الداخل \(x-h\) نفس القيمة كما كان من قبل، يجب أن يكون \(x\) أكبر بمقدار \(h\) — لذا ينتظر الرسم قيمة \(x\) أكبر، أي يتحرك يمينًا.

النقطة \((a,b)\) على الرسم الأصلي تنتقل بموجب \(f(x-h)+k\) إلى النقطة \((a+h,\ b+k)\).

مثال 1: الإزاحة الرأسية للقطع المكافئ

السؤال: المعطى \(f(x)=x^2\). صف الرسم البياني لـ\(g(x)=f(x)+4=x^2+4\) وحدد قمته.

الحل:

1. الإضافة \(+4\) تقع خارج \(f\)، إذن هذه إزاحة رأسية.
2. بما أن \(4 \gt 0\) فالرسم يتحرك للأعلى بمقدار \(4\) وحدات.
3. قمة \(x^2\) هي \((0,0)\)، وتنتقل رأسيًا إلى \((0,4)\).
4. شكل القطع المكافئ يبقى كما هو — تغير الموضع فقط.

الإجابة: الرسم هو \(x^2\) مُزاح \(4\) وحدات للأعلى؛ القمة عند \((0,4)\).

مثال 2: الإزاحة الأفقية — الاتجاه 'المعكوس'

السؤال: المعطى \(f(x)=x^2\). إلى أين يتحرك الرسم البياني لـ\(g(x)=f(x-3)=(x-3)^2\)?

الحل:

1. التغيير \(x-3\) داخل الأقواس، إذن هذه إزاحة أفقية.
2. على الرغم من إشارة الطرح، الإزاحة يمينًا بمقدار \(3\) وحدات.
3. التفسير: كي يعيد التعبير الداخلي القيمة \(0\) (قمة القطع المكافئ) يلزم \(x=3\)، فانتقلت القمة من \((0,0)\) إلى \((3,0)\).
4. نتحقق بنقطة إضافية: في القيمة الأصلية \(x=1\) حصلنا على \(y=1\)؛ الآن نفس القيمة تُنتَج عند \(x=4\) — إزاحة يمينًا فعلاً.

الإجابة: يتحرك الرسم \(3\) وحدات يمينًا؛ القمة عند \((3,0)\).

مثال 3: توحيد عدة إزاحات رأسية

السؤال: المعطى \(g(x)=f(x)+5-8\). صف الإزاحة الرأسية الكلية بالنسبة إلى \(f(x)\).

الحل:

1. الإضافتان \(+5\) و\(-8\) رأسيتان، وبالتالي يمكن توحيدهما.
2. نجمع: \(5-8=-3\).
3. ينتج \(g(x)=f(x)-3\).
4. بما أن الثابت سالب، يتحرك الرسم \(3\) وحدات للأسفل.

الإجابة: إزاحة كلية بمقدار \(3\) وحدات للأسفل (\(g(x)=f(x)-3\)).

مثال 4: تركيب الإزاحة الرأسية والأفقية

السؤال: المعطى \(f(x)=x^2\) بقمة \((0,0)\). أوجد قمة الرسم البياني لـ\(g(x)=(x+2)^2-5\).

الحل:

1. التعبير الداخلي \(x+2\) هو \(x-(-2)\)، أي إزاحة أفقية بمقدار \(2\) وحدات يسارًا.
2. الإضافة \(-5\) خارج الأس هي إزاحة رأسية بمقدار \(5\) وحدات للأسفل.
3. القمة الأصلية \((0,0)\) تنتقل إلى \((0-2,\ 0-5)\).
4. نحصل على القمة \((-2,-5)\).

الإجابة: القمة هي \((-2,-5)\).

مثال 5: إيجاد ثابت الإزاحة من نقطة معطاة

السؤال: معلوم أن \(f(3)=6\)، والرسم البياني لـ\(g(x)=f(x)+k\) يمر بالنقطة \((3,10)\). أوجد \(k\).

الحل:

1. نعوض \(x=3\) في \(g\): \(g(3)=f(3)+k\).
2. نستخدم المعطى \(f(3)=6\) وكون \(g(3)=10\): \(10=6+k\).
3. نعزل: \(k=10-6=4\).
4. أي أن الرسم أُزيح \(4\) وحدات للأعلى.

الإجابة: \(k=4\).

✗ خطأ شائع: الاعتقاد بأن \(f(x-h)\) يُزيح الرسم يسارًا (نحو السالب) لأن 'الطرح يعني اليسار'.

✓ الطريقة الصحيحة: الإزاحة الأفقية تعمل بشكل معكوس: \(f(x-h)\) مع \(h \gt 0\) يُزيح الرسم يمينًا. تحقق بالقمة: في \((x-3)^2\) تقع القمة عند \(x=3\)، أي يمينًا.

✗ خطأ شائع: الخلط بين الإزاحة الرأسية والأفقية — التعامل مع \(+k\) خارج الدالة كأنه يُزيح الرسم أفقيًا.

✓ الطريقة الصحيحة: التغيير خارج \(f\) (مثل \(+k\)) يؤثر في \(y\) — إزاحة رأسية. التغيير داخل أقواس المتغير يؤثر في \(x\) — إزاحة أفقية.

✗ خطأ شائع: عند تركيب إزاحات رأسية متعددة، جمعها بإشارة خاطئة، مثل \(+5-8=+3\).

✓ الطريقة الصحيحة: نوحّد الثوابت بالجمع العادي مع حفظ الإشارات: \(5-8=-3\). النتيجة السالبة تعني إزاحة للأسفل.

نوعا الإزاحة:

• الإزاحة الرأسية: \(g(x)=f(x)+k\) — للأعلى إذا \(k \gt 0\)، للأسفل إذا \(k \lt 0\) (بحسب الإشارة).
• الإزاحة الأفقية: \(g(x)=f(x-h)\) — يمينًا إذا \(h \gt 0\)، يسارًا إذا \(h \lt 0\) (عكس الإشارة).
• التركيب: \(g(x)=f(x-h)+k\) ينقل \((a,b)\) إلى \((a+h,\ b+k)\).
• الإزاحات الرأسية المتعددة توحَّد بالجمع: \(+5-8=-3\).