הזזה (טרנספורמציה) משנה את מיקום הגרף במישור בלי לשנות את צורתו. יש שני סוגים בסיסיים.

הזזה אנכית: \(g(x)=f(x)+k\). הגרף זז מעלה אם \(k \gt 0\) ומטה אם \(k \lt 0\). זה אינטואיטיבי: מוסיפים \(k\) לכל ערך \(y\), ולכן כל נקודה עולה (או יורדת) ב-\(k\).

הזזה אופקית: \(g(x)=f(x-h)\). הגרף זז ימינה ב-\(h\) כאשר \(h \gt 0\), ושמאלה כאשר \(h \lt 0\). זה נראה הפוך, אך ההסבר פשוט: כדי שהפנימי \(x-h\) ייתן את אותו ערך כמו קודם, צריך \(x\) גדול יותר ב-\(h\) — ולכן הגרף 'מחכה' לערך \(x\) מאוחר יותר, כלומר זז ימינה.

נקודה \((a,b)\) על הגרף המקורי עוברת תחת \(f(x-h)+k\) לנקודה \((a+h,\ b+k)\).

דוגמה 1: הזזה אנכית של פרבולה

השאלה: נתונה \(f(x)=x^2\). תארו את הגרף של \(g(x)=f(x)+4=x^2+4\) וציינו את קודקודו.

פתרון:

1. התוספת \(+4\) נמצאת מחוץ ל-\(f\), ולכן זו הזזה אנכית.
2. מכיוון ש-\(4 \gt 0\) הגרף זז למעלה ב-\(4\) יחידות.
3. הקודקוד של \(x^2\) הוא \((0,0)\), והוא עובר אנכית ל-\((0,4)\).
4. צורת הפרבולה נשמרת — רק המיקום השתנה.

תשובה: הגרף הוא \(x^2\) מוזז \(4\) יחידות למעלה; הקודקוד ב-\((0,4)\).

דוגמה 2: הזזה אופקית — הכיוון ה'הפוך'

השאלה: נתונה \(f(x)=x^2\). לאן זז הגרף של \(g(x)=f(x-3)=(x-3)^2\)?

פתרון:

1. השינוי \(x-3\) נמצא בתוך הסוגריים, ולכן זו הזזה אופקית.
2. למרות סימן המינוס, ההזזה היא ימינה ב-\(3\) יחידות.
3. ההסבר: כדי שהביטוי הפנימי יחזיר \(0\) (קודקוד הפרבולה) צריך \(x=3\), ולכן הקודקוד עבר מ-\((0,0)\) ל-\((3,0)\).
4. נבדוק נקודה נוספת: בערך המקורי \(x=1\) קיבלנו \(y=1\); כעת אותו ערך מתקבל ב-\(x=4\) — אכן הזזה ימינה.

תשובה: הגרף זז \(3\) יחידות ימינה; הקודקוד ב-\((3,0)\).

דוגמה 3: איחוד מספר הזזות אנכיות

השאלה: נתון \(g(x)=f(x)+5-8\). תארו את ההזזה האנכית הכוללת ביחס ל-\(f(x)\).

פתרון:

1. שתי התוספות \(+5\) ו-\(-8\) הן אנכיות, ולכן אפשר לאחד אותן.
2. נחבר: \(5-8=-3\).
3. מתקבל \(g(x)=f(x)-3\).
4. מכיוון שהקבוע שלילי, הגרף זז \(3\) יחידות למטה.

תשובה: הזזה כוללת של \(3\) יחידות למטה (\(g(x)=f(x)-3\)).

דוגמה 4: שילוב הזזה אנכית ואופקית

השאלה: נתונה \(f(x)=x^2\) עם קודקוד \((0,0)\). מצאו את קודקוד הגרף של \(g(x)=(x+2)^2-5\).

פתרון:

1. הביטוי הפנימי \(x+2\) הוא \(x-(-2)\), כלומר הזזה אופקית של \(2\) יחידות שמאלה.
2. התוספת \(-5\) מחוץ לחזקה היא הזזה אנכית של \(5\) יחידות למטה.
3. הקודקוד המקורי \((0,0)\) עובר ל-\((0-2,\ 0-5)\).
4. מקבלים את הקודקוד \((-2,-5)\).

תשובה: הקודקוד הוא \((-2,-5)\).

דוגמה 5: מציאת קבוע ההזזה מתוך נקודה

השאלה: ידוע ש-\(f(3)=6\), והגרף של \(g(x)=f(x)+k\) עובר דרך הנקודה \((3,10)\). מצאו את \(k\).

פתרון:

1. נציב \(x=3\) ב-\(g\): \(g(3)=f(3)+k\).
2. נשתמש בנתון \(f(3)=6\) ובכך ש-\(g(3)=10\): \(10=6+k\).
3. נבודד: \(k=10-6=4\).
4. כלומר הגרף הוזז \(4\) יחידות למעלה.

תשובה: \(k=4\).

✗ טעות נפוצה: חושבים ש-\(f(x-h)\) מזיז את הגרף שמאלה (לכיוון המינוס), כי 'מינוס זה שמאלה'.

✓ הדרך הנכונה: הזזה אופקית פועלת הפוך: \(f(x-h)\) עם \(h \gt 0\) מזיז ימינה. בדקו עם הקודקוד: ב-\((x-3)^2\) הקודקוד הוא ב-\(x=3\), כלומר ימינה.

✗ טעות נפוצה: מבלבלים בין הזזה אנכית לאופקית — מתייחסים ל-\(+k\) שמחוץ לפונקציה כאילו הוא מזיז את הגרף הצידה.

✓ הדרך הנכונה: שינוי מחוץ ל-\(f\) (כמו \(+k\)) משפיע על \(y\) — הזזה אנכית. שינוי בתוך הסוגריים של המשתנה משפיע על \(x\) — הזזה אופקית.

✗ טעות נפוצה: כשמשלבים הזזות אנכיות מרובות, סוכמים אותן בטעות עם סימן שגוי, למשל \(+5-8=+3\).

✓ הדרך הנכונה: מאחדים את הקבועים בחיבור רגיל ושמירת סימנים: \(5-8=-3\). תוצאה שלילית פירושה הזזה למטה.

שני סוגי ההזזות:

• הזזה אנכית: \(g(x)=f(x)+k\) — מעלה אם \(k \gt 0\), מטה אם \(k \lt 0\) (לפי הסימן).
• הזזה אופקית: \(g(x)=f(x-h)\) — ימינה אם \(h \gt 0\), שמאלה אם \(h \lt 0\) (הפוך לסימן).
• שילוב: \(g(x)=f(x-h)+k\) מעביר \((a,b)\) אל \((a+h,\ b+k)\).
• הזזות אנכיות מרובות מאחדים בחיבור: \(+5-8=-3\).