函数图像的平移——竖直与水平平移
理解函数图像的平移，使我们能够从已知的基本函数出发，绘制和分析更复杂的函数，而无需重新计算值表。本页将学习两种平移——竖直平移与水平平移，理解为何水平平移的方向与直觉「相反」，并练习识别和组合平移变换。
背景与基本定义
平移（变换）在不改变图形形状的情况下改变图像在平面中的位置。有两种基本类型。
竖直平移：\(g(x)=f(x)+k\)。\(k \gt 0\) 时图像上移，\(k \lt 0\) 时图像下移。这很直观：对每个 \(y\) 值加上 \(k\)，每个点相应上移（或下移） \(k\) 个单位。
水平平移：\(g(x)=f(x-h)\)。\(h \gt 0\) 时图像向右移动 \(h\) 个单位，\(h \lt 0\) 时向左移动。这看起来方向相反，但解释很简单：要使内层表达式 \(x-h\) 与原来的值相同，需要 \(x\) 比原来大 \(h\)——因此图像「等待」更大的 \(x\) 值才出现，即向右移动。
| 变换 | 对图像的影响 |
|---|---|
| \(f(x)+k,\ k \gt 0\) | 向上平移 \(k\) 个单位 |
| \(f(x)-k,\ k \gt 0\) | 向下平移 \(k\) 个单位 |
| \(f(x-h),\ h \gt 0\) | 向右平移 \(h\) 个单位 |
| \(f(x+h),\ h \gt 0\) | 向左平移 \(h\) 个单位 |
原图像上的点 \((a,b)\) 在 \(f(x-h)+k\) 变换下移至点 \((a+h,\ b+k)\)。
解题步骤
- 第一步——识别基本函数 \(f(x)\)（例如 \(x^2\) 或 \(x\)）。
- 第二步——找出 \(f\) 外部的加减项（如 \(+k\)）——这是竖直平移，方向与符号相同。
- 第三步——找出变量括号内的变化（如 \(x-h\)）——这是水平平移，方向与表达式中的符号相反。
- 第四步——若有多个竖直加减项，将它们合并为一个数 \(k\)（直接相加）。
- 第五步——将平移转化为点的变化：每个点 \((a,b)\) 移至 \((a+h,\ b+k)\)。
- 第六步——用一个已知点（如顶点或与坐标轴的交点）自我检验。
例题解析
例题 1： 抛物线的竖直平移
题目： 已知 \(f(x)=x^2\)，描述 \(g(x)=f(x)+4=x^2+4\) 的图像并指出其顶点。
解答：
- \(+4\) 在 \(f\) 的外部，因此这是竖直平移。
- 由于 \(4 \gt 0\)，图像向上移动 \(4\) 个单位。
- \(x^2\) 的顶点为 \((0,0)\)，竖直平移后变为 \((0,4)\)。
- 抛物线的形状不变——只是位置改变了。
答案： 图像是 \(x^2\) 向上平移 \(4\) 个单位；顶点在 \((0,4)\)。
例题 2： 水平平移——「相反」的方向
题目： 已知 \(f(x)=x^2\)，\(g(x)=f(x-3)=(x-3)^2\) 的图像向哪个方向移动？
解答：
- 括号内的变化 \(x-3\) 是水平平移。
- 尽管符号为负，平移方向为向右 \(3\) 个单位。
- 解释：使内层表达式返回 \(0\)（抛物线顶点）需要 \(x=3\)，因此顶点从 \((0,0)\) 移至 \((3,0)\)。
- 验证另一个点：原来 \(x=1\) 时得 \(y=1\)；现在同样的值在 \(x=4\) 时取得——确实向右平移。
答案： 图像向右平移 \(3\) 个单位；顶点在 \((3,0)\)。
例题 3： 合并多个竖直平移
题目： 已知 \(g(x)=f(x)+5-8\)，描述相对于 \(f(x)\) 的整体竖直平移。
解答：
- \(+5\) 和 \(-8\) 均为竖直平移，可以合并。
- 相加：\(5-8=-3\)。
- 得到 \(g(x)=f(x)-3\)。
- 由于常数为负，图像向下平移 \(3\) 个单位。
答案： 整体向下平移 \(3\) 个单位（\(g(x)=f(x)-3\)）。
例题 4： 竖直平移与水平平移的组合
题目： 已知 \(f(x)=x^2\) 的顶点为 \((0,0)\)，求 \(g(x)=(x+2)^2-5\) 的图像顶点。
解答：
- 括号内的 \(x+2\) 即 \(x-(-2)\)，表示向左水平平移 \(2\) 个单位。
- 幂次外部的 \(-5\) 是竖直平移，向下 \(5\) 个单位。
- 原顶点 \((0,0)\) 移至 \((0-2,\ 0-5)\)。
- 得到顶点 \((-2,-5)\)。
答案： 顶点为 \((-2,-5)\)。
例题 5： 从点的坐标求平移常数
题目： 已知 \(f(3)=6\)，且 \(g(x)=f(x)+k\) 的图像过点 \((3,10)\)，求 \(k\)。
解答：
- 将 \(x=3\) 代入 \(g\)：\(g(3)=f(3)+k\)。
- 利用已知条件 \(f(3)=6\) 和 \(g(3)=10\)：\(10=6+k\)。
- 解方程：\(k=10-6=4\)。
- 即图像向上平移了 \(4\) 个单位。
答案： \(k=4\)。
常见错误
✗ 常见错误： 认为 \(f(x-h)\) 使图像向左移动（因为「减号就是向左」）。
✓ 正确做法： 水平平移方向相反：\(f(x-h)\) 当 \(h \gt 0\) 时向右移动。用顶点验证：\((x-3)^2\) 的顶点在 \(x=3\)，即向右。
✗ 常见错误： 混淆竖直平移与水平平移——将 \(f\) 外部的 \(+k\) 误认为使图像水平移动。
✓ 正确做法： \(f\) 外部的变化（如 \(+k\)）影响 \(y\) 值——竖直平移。变量括号内部的变化影响 \(x\) 值——水平平移。
✗ 常见错误： 合并多个竖直平移时符号出错，例如将 \(+5-8\) 误算为 \(+3\)。
✓ 正确做法： 按照正常加减法合并常数并保留符号：\(5-8=-3\)。结果为负表示向下平移。
练习建议
- 技巧——记住规则：「括号外面→竖直平移，方向与符号相同；括号里面→水平平移，方向与符号相反」。
- 技巧——判断水平平移方向时，问「哪个 \(x\) 使内层表达式为零？」——那里就是顶点或参考点的位置。
- 技巧——只追踪一个特征点（顶点、截距）而非整个图像——更简便、更快速。
- 技巧——通用形式 \(g(x)=f(x-h)+k\) 将每个点 \((a,b)\) 移至 \((a+h,\ b+k)\)——只需记一个公式。
总结与关键公式
两种平移类型：
- 竖直平移：\(g(x)=f(x)+k\)——\(k \gt 0\) 时上移，\(k \lt 0\) 时下移（与符号方向相同）。
- 水平平移：\(g(x)=f(x-h)\)——\(h \gt 0\) 时右移，\(h \lt 0\) 时左移（与符号方向相反）。
- 组合：\(g(x)=f(x-h)+k\) 将 \((a,b)\) 移至 \((a+h,\ b+k)\)。
- 多个竖直平移相加合并：\(+5-8=-3\)。