Ordre des opérations

Ordre des opérations

Quand un exercice contient plusieurs opérations — multiplication, addition, parenthèses — on ne calcule pas simplement de gauche à droite. Il existe des règles d'ordre que tout le monde respecte, pour que chacun arrive à la même réponse. Sur cette page, on apprend le bon ordre et on s'entraîne.

Contexte et définitions de base

L'ordre des opérations (ce qu'on fait en premier) :

  1. Parenthèses \((\;)\) — tout ce qui est entre parenthèses est calculé en premier.
  2. Multiplication et division \(\times, \div\) — avant l'addition et la soustraction (de gauche à droite entre elles).
  3. Addition et soustraction \(+, -\) — en dernier (de gauche à droite entre elles).

On peut retenir en abrégé : P.M.A. — Parenthèses, Multiplication/division, Addition/soustraction.

Pourquoi cette règle ? Sans elle, la même expression pourrait donner des résultats différents. Par exemple \(2 + 3 \times 4\) : si on additionne en premier \((2+3)\times 4 = 20\), et si on multiplie en premier \(2 + 12 = 14\). La règle décide que 14 est la bonne réponse.

Étapes de résolution

  1. Étape 1 — Parcours l'expression. Y a-t-il des parenthèses ? Si oui, calcule d'abord ce qui est à l'intérieur.
  2. Étape 2 — Après les parenthèses, parcours de gauche à droite pour les multiplications et divisions. Effectue-les dans l'ordre.
  3. Étape 3 — Après les multiplications/divisions, effectue les additions et soustractions de gauche à droite.
  4. Étape 4 — S'il y a des parenthèses imbriquées (des parenthèses dans des parenthèses), commence par les parenthèses les plus intérieures.
  5. Étape 5 — Vérifie : écris l'expression étape par étape, remplace chaque fois une seule partie, pour ne pas te mélanger.

Exemples résolus

Exemple 1 : Multiplication avant addition

Énoncé : Calcule : \( 5 + 3 \times 4 \)

Solution :

  1. Pas de parenthèses. Multiplication avant addition.
  2. \( 3 \times 4 = 12 \).
  3. \( 5 + 12 = 17 \).

Réponse : \( 5 + 3 \times 4 = 17 \)

Exemple 2 : Les parenthèses changent tout

Énoncé : Calcule : \( (5 + 3) \times 4 \)

Solution :

  1. Il y a des parenthèses — on calcule en premier.
  2. \( 5 + 3 = 8 \).
  3. \( 8 \times 4 = 32 \).

Réponse : \( (5 + 3) \times 4 = 32 \)

Exemple 3 : Plusieurs opérations ensemble

Énoncé : Calcule : \( 20 - 2 \times 6 + 4 \)

Solution :

  1. Pas de parenthèses. D'abord la multiplication.
  2. \( 2 \times 6 = 12 \).
  3. L'expression devient : \( 20 - 12 + 4 \).
  4. De gauche à droite : \( 20 - 12 = 8 \), puis \( 8 + 4 = 12 \).

Réponse : \( 20 - 2 \times 6 + 4 = 12 \)

Exemple 4 : Division avant soustraction

Énoncé : Calcule : \( 30 - 24 \div 6 \)

Solution :

  1. D'abord la division : \( 24 \div 6 = 4 \).
  2. \( 30 - 4 = 26 \).

Réponse : \( 30 - 24 \div 6 = 26 \)

Exemple 5 : Expression avec parenthèses et plusieurs opérations

Énoncé : Calcule : \( 3 \times (8 - 5) + 10 \div 2 \)

Solution :

  1. D'abord les parenthèses : \( 8 - 5 = 3 \).
  2. L'expression : \( 3 \times 3 + 10 \div 2 \).
  3. Multiplication et division (de gauche à droite) : \( 3 \times 3 = 9 \), \( 10 \div 2 = 5 \).
  4. \( 9 + 5 = 14 \).

Réponse : \( 3 \times (8 - 5) + 10 \div 2 = 14 \)

Erreurs fréquentes

✗ Erreur fréquente : On calcule de gauche à droite sans respecter l'ordre : \( 5 + 3 \times 4 = 8 \times 4 = 32 \).

✓ La bonne méthode : La multiplication et la division passent toujours avant l'addition et la soustraction ! \( 5 + 3 \times 4 = 5 + 12 = 17 \). Demande-toi toujours : « Y a-t-il une multiplication/division hors des parenthèses ? »

✗ Erreur fréquente : On ignore les parenthèses : on calcule \( 2 \times 3 + 4 \) même quand c'est écrit \( 2 \times (3 + 4) \).

✓ La bonne méthode : Les parenthèses sont un « signal spécial » qui dit : « Calcule-moi en premier ! » Ce qui est entre parenthèses passe toujours en premier.

✗ Erreur fréquente : Quand il reste addition et soustraction après les multiplications, on fait la soustraction avant l'addition car « la soustraction est plus importante ».

✓ La bonne méthode : L'addition et la soustraction sont de même importance. Quand il n'y a que des additions et soustractions, on calcule simplement de gauche à droite.

Conseils d'entraînement

  • Astuce — Retiens : P.M.A. — Parenthèses, Multiplication/division, Addition/soustraction. C'est l'ordre !
  • Astuce — Tu veux changer l'ordre de calcul ? Ajoute simplement des parenthèses ! \( 2 + 3 \times 4 = 14 \) mais \( (2+3) \times 4 = 20 \).
  • Astuce — Écris chaque étape séparément. N'essaie pas de tout calculer de tête en une fois — ça mène à des erreurs.
  • Astuce — Vérification : reprends l'expression originale et marque chaque opération dans le bon ordre avant de calculer.

Résumé et formules clés

  1. Parenthèses — en premier.
  2. Multiplication et division — de gauche à droite.
  3. Addition et soustraction — de gauche à droite.

Abréviation à retenir : P.M.A.