Grandeurs fondamentales :

• Déplacement \( \Delta x = x_2 - x_1 \) — variation de position (grandeur vectorielle, peut être négative).
• Vitesse \( v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \) — taux de variation de la position.
• Accélération \( a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \) — taux de variation de la vitesse.

Les trois équations du mouvement à accélération constante :

La troisième équation est particulièrement utile quand le temps n'est pas donné dans le problème.

La chute libre est un mouvement sous l'accélération gravitationnelle \( g \approx 10 \, \text{m/s}^2 \) (vers le bas). Pour une chute, on pose \( a = g \), et pour un lancer vers le haut \( a = -g \) (qui ralentit le corps).

Conversion d'unités : de km/h en m/s on divise par \(3{,}6\) ; de m/s en km/h on multiplie par \(3{,}6\). Par exemple \( 36 \, \text{km/h} = \frac{36}{3{,}6} = 10 \, \text{m/s} \).

Graphes : sur un graphe vitesse-temps (\(v\text{-}t\)), la pente représente l'accélération, et l'aire sous la courbe représente le déplacement.

Exemple 1 : Conversion d'unités et accélération

Énoncé : Une voiture accélère depuis l'arrêt (\(v_0 = 0\)) jusqu'à \(108\) km/h en \(5\) secondes. Quelle est son accélération en \( \text{m/s}^2 \) ?

Solution :

1. Convertissons la vitesse finale : \( v = \frac{108}{3{,}6} = 30 \, \text{m/s} \).
2. On utilise \( v = v_0 + a t \) et on isole \(a\) : \( a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{30 - 0}{5} \).
3. On calcule : \( \frac{30}{5} = 6 \).

Réponse : L'accélération est \( 6 \, \text{m/s}^2 \).

Exemple 2 : Vitesse finale lors d'une accélération

Énoncé : Une voiture se déplace à \( v_0 = 10 \, \text{m/s} \) et accélère de façon constante à \( a = 2 \, \text{m/s}^2 \) pendant \( t = 5 \) secondes. Quelle est sa vitesse finale ?

Solution :

1. L'équation appropriée est \( v = v_0 + a t \).
2. On substitue : \( v = 10 + 2 \times 5 = 10 + 10 \).
3. On calcule : \( v = 20 \, \text{m/s} \).

Réponse : La vitesse finale est \( 20 \, \text{m/s} \).

Exemple 3 : Distance de freinage

Énoncé : Une voiture roule à \( v_0 = 30 \, \text{m/s} \) et freine avec une accélération \( a = -5 \, \text{m/s}^2 \) jusqu'à l'arrêt complet. Quelle distance parcourt-elle avant de s'arrêter ?

Solution :

1. Le temps n'est pas donné, donc on utilise \( v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta x \) avec \( v = 0 \) (arrêt).
2. On substitue : \( 0 = 30^2 + 2 \times (-5) \times \Delta x = 900 - 10 \Delta x \).
3. On isole : \( 10 \Delta x = 900 \), donc \( \Delta x = 90 \, \text{m} \).

Réponse : La distance de freinage est \( 90 \) mètres.

Exemple 4 : Durée d'une chute libre

Énoncé : Une pierre tombe depuis le repos (\( v_0 = 0 \)) d'une hauteur \( h = 80 \) mètres. Combien de temps met-elle pour atteindre le sol ? (\( g = 10 \, \text{m/s}^2 \))

Solution :

1. Pour une chute depuis le repos : \( h = \tfrac{1}{2} g t^2 \).
2. On substitue : \( 80 = \tfrac{1}{2} \times 10 \times t^2 = 5 t^2 \).
3. On isole : \( t^2 = \frac{80}{5} = 16 \), donc \( t = 4 \) secondes.

Réponse : La durée de la chute est \( 4 \) secondes.

Exemple 5 : Lancer vers le haut — vitesse à l'impact

Énoncé : Du haut d'un toit à \(20\) mètres, on lance une balle vers le haut à \( 10 \, \text{m/s} \). À quelle vitesse heurte-t-elle le sol ? (\( g = 10 \, \text{m/s}^2 \))

Solution :

1. On choisit le bas comme sens positif. Alors \( v_0 = -10 \, \text{m/s} \) (lancée vers le haut), \( a = 10 \, \text{m/s}^2 \), et le déplacement jusqu'au sol \( \Delta x = 20 \) mètres.
2. On utilise \( v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta x \) : \( v^2 = (-10)^2 + 2 \times 10 \times 20 = 100 + 400 = 500 \).
3. On extrait la racine : \( v = \sqrt{500} \approx 22{,}36 \, \text{m/s} \).
4. L'intuition : la balle monte, revient au niveau du toit à \(10\) m/s vers le bas, puis continue à tomber sur \(20\) mètres.

Réponse : La vitesse à l'impact est \( \sqrt{500} \approx 22{,}4 \, \text{m/s} \).

✗ Erreur fréquente : On substitue une vitesse en km/h directement dans les équations du mouvement avec \(a\) en \( \text{m/s}^2 \).

✓ La bonne méthode : Les équations fonctionnent dans un système d'unités cohérent. Convertissez d'abord le km/h en m/s (divisez par \(3{,}6\)) avant de substituer.

✗ Erreur fréquente : On ignore le signe de l'accélération — on substitue une accélération de freinage ou la pesanteur comme positive au lieu de négative.

✓ La bonne méthode : Une accélération opposée au sens du mouvement (freinage) ou dirigée vers le bas quand le positif est vers le haut est négative. Définissez un sens positif au début de la résolution et respectez-le.

✗ Erreur fréquente : On pense que doubler la vitesse double la distance de freinage.

✓ La bonne méthode : De l'équation \( v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x \), on tire \( \Delta x \propto v_0^2 \). Doubler la vitesse multiplie la distance de freinage par \(4\), et non par \(2\).

• Définitions : \( v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \), \( a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \).
• Équations du mouvement : \( v = v_0 + at \) ; \( x = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2 \) ; \( v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta x \).
• Chute libre : \( a = g \approx 10 \, \text{m/s}^2 \).
• Conversion : km/h \(\div 3{,}6 =\) m/s.
• Graphe \(v\text{-}t\) : pente = accélération, aire = déplacement.
• La distance de freinage est proportionnelle à \( v_0^2 \).