الكميات الأساسية:

• الإزاحة \( \Delta x = x_2 - x_1 \) — التغير في الموضع (كمية متجهة، قد تكون سالبة).
• السرعة \( v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \) — معدل تغير الموضع.
• التسارع \( a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \) — معدل تغير السرعة.

معادلات الحركة الثلاث عند تسارع ثابت:

المعادلة الثالثة مفيدة بشكل خاص حين لا يُعطى الزمن.

السقوط الحر حركة بتسارع الجاذبية \( g \approx 10 \, \text{m/s}^2 \) (نحو الأسفل). في مسائل السقوط نضع \( a = g \)، وفي القذف نحو الأعلى \( a = -g \) (يُبطئ الجسم).

تحويل الوحدات: من كم/س إلى م/ث نقسم على \(3.6\)؛ ومن م/ث إلى كم/س نضرب في \(3.6\). مثلًا \( 36 \, \text{كم/س} = \frac{36}{3.6} = 10 \, \text{م/ث} \).

الرسوم البيانية: في رسم السرعة-الزمن (\(v\text{-}t\)) الميل هو التسارع، والمساحة تحت المنحنى هي الإزاحة.

مثال 1: تحويل الوحدات وحساب التسارع

السؤال: سيارة تتسارع من السكون (\(v_0 = 0\)) حتى \(108\) كم/س في \(5\) ثوانٍ. ما تسارعها بـ\( \text{م/ث}^2 \)؟

الحل:

1. نحوّل السرعة النهائية: \( v = \frac{108}{3.6} = 30 \, \text{م/ث} \).
2. نطبق \( v = v_0 + a t \) ونستخرج \(a\): \( a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{30 - 0}{5} \).
3. نحسب: \( \frac{30}{5} = 6 \).

الإجابة: التسارع \( 6 \, \text{م/ث}^2 \).

مثال 2: السرعة النهائية عند التسارع

السؤال: تتحرك سيارة بسرعة \( v_0 = 10 \, \text{م/ث} \) وتتسارع بتسارع ثابت \( a = 2 \, \text{م/ث}^2 \) لمدة \( t = 5 \) ثوانٍ. ما سرعتها النهائية؟

الحل:

1. المعادلة المناسبة: \( v = v_0 + a t \).
2. نعوّض: \( v = 10 + 2 \times 5 = 10 + 10 \).
3. نحسب: \( v = 20 \, \text{م/ث} \).

الإجابة: السرعة النهائية \( 20 \, \text{م/ث} \).

مثال 3: مسافة التوقف

السؤال: تسير سيارة بسرعة \( v_0 = 30 \, \text{م/ث} \) وتكبح بتسارع \( a = -5 \, \text{م/ث}^2 \) حتى التوقف الكامل. كم تقطع حتى تتوقف؟

الحل:

1. لا يُعطى الزمن، فنستخدم \( v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta x \) مع \( v = 0 \) (توقف).
2. نعوّض: \( 0 = 30^2 + 2 \times (-5) \times \Delta x = 900 - 10 \Delta x \).
3. نستخرج: \( 10 \Delta x = 900 \)، إذن \( \Delta x = 90 \, \text{م} \).

الإجابة: مسافة التوقف \( 90 \) مترًا.

مثال 4: زمن السقوط الحر

السؤال: حجر يسقط من السكون (\( v_0 = 0 \)) من ارتفاع \( h = 80 \) مترًا. كم يستغرق ليصل إلى الأرض؟ (\( g = 10 \, \text{م/ث}^2 \))

الحل:

1. للسقوط من السكون: \( h = \tfrac{1}{2} g t^2 \).
2. نعوّض: \( 80 = \tfrac{1}{2} \times 10 \times t^2 = 5 t^2 \).
3. نستخرج: \( t^2 = \frac{80}{5} = 16 \)، إذن \( t = 4 \) ثوانٍ.

الإجابة: زمن السقوط \( 4 \) ثوانٍ.

مثال 5: القذف نحو الأعلى — السرعة عند الارتطام

السؤال: من سطح ارتفاعه \(20\) مترًا تُقذف كرة نحو الأعلى بسرعة \( 10 \, \text{م/ث} \). بأي سرعة تصطدم بالأرض؟ (\( g = 10 \, \text{م/ث}^2 \))

الحل:

1. نختار الأسفل اتجاهًا موجبًا. إذن \( v_0 = -10 \, \text{م/ث} \) (مقذوفة للأعلى)، \( a = 10 \, \text{م/ث}^2 \)، والإزاحة حتى الأرض \( \Delta x = 20 \) م.
2. نطبق \( v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta x \): \( v^2 = (-10)^2 + 2 \times 10 \times 20 = 100 + 400 = 500 \).
3. نستخرج الجذر: \( v = \sqrt{500} \approx 22.36 \, \text{م/ث} \).
4. المنطق: الكرة تصعد ثم تعود لارتفاع السطح بسرعة \(10\) م/ث نحو الأسفل، ثم تواصل السقوط \(20\) م.

الإجابة: السرعة عند الارتطام \( \sqrt{500} \approx 22.4 \, \text{م/ث} \).

✗ خطأ شائع: تعويض السرعة بكم/س مباشرة في معادلات الحركة مع \(a\) بـ\( \text{م/ث}^2 \).

✓ الطريقة الصحيحة: المعادلات تعمل بمنظومة وحدات واحدة. حوّل أولًا كم/س إلى م/ث (اقسم على \(3.6\)) قبل التعويض.

✗ خطأ شائع: إهمال إشارة التسارع — تعويض تسارع الكبح أو الجاذبية موجبًا بدلًا من سالبًا.

✓ الطريقة الصحيحة: التسارع المعاكس لاتجاه الحركة (كبح) أو الموجَّه نحو الأسفل حين يكون الموجب للأعلى — هو سالب. حدِّد الاتجاه الموجب في بداية الحل والتزم به.

✗ خطأ شائع: الاعتقاد بأن مضاعفة السرعة يضاعف مسافة التوقف.

✓ الطريقة الصحيحة: من المعادلة \( v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x \) ينتج أن \( \Delta x \propto v_0^2 \). مضاعفة السرعة يزيد مسافة التوقف أربع مرات لا مرتين.

• التعريفات: \( v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \)، \( a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \).
• معادلات الحركة: \( v = v_0 + at \)؛ \( x = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2 \)؛ \( v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta x \).
• السقوط الحر: \( a = g \approx 10 \, \text{م/ث}^2 \).
• التحويل: كم/س \(\div 3.6 =\) م/ث.
• رسم \(v\text{-}t\): الميل = التسارع، المساحة = الإزاحة.
• مسافة التوقف تتناسب مع \( v_0^2 \).