Regla del producto y regla de la cadena

Regla del producto y regla de la cadena

Cuando una función está formada por el producto de dos factores, o por la composición de una función dentro de otra, no es posible derivar cada parte por separado de forma simple. En esta página conoceremos las dos herramientas fundamentales para estos casos: la regla del producto y la regla de la cadena. Comprenderemos la intuición detrás de cada regla, aprenderemos cuándo usar cada una y practicaremos el cálculo de derivadas y valores de la derivada en un punto.

Contexto y definiciones básicas

Cuando se multiplican dos funciones o se componen una dentro de la otra, la derivada no se distribuye de forma sencilla. Para eso disponemos de dos reglas fundamentales.

Regla del producto — si \(h(x)=f(x)\cdot g(x)\), entonces:

\[ h'(x) = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x) \]

La intuición: cada factor cambia por separado, por lo que la variación total es la suma de dos contribuciones — una vez se deriva el primer factor y se conserva el segundo, y otra vez al contrario. Un error frecuente es pensar que \((f\cdot g)'=f'\cdot g'\) — eso no es correcto.

Regla de la cadena — si \(h(x)=f\big(g(x)\big)\) (función exterior \(f\) sobre función interior \(g\)), entonces:

\[ h'(x) = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x) \]

La intuición: se deriva la función exterior como si la interior fuera una única variable y luego se multiplica por la «derivada de la función interior». Esa multiplicación corrige la tasa de cambio de la expresión interna.

Un caso frecuente de la regla de la cadena es la potencia de una expresión:

\[ \big[g(x)^n\big]' = n\,g(x)^{n-1}\cdot g'(x) \]

Recordemos las derivadas básicas que usaremos: \((x^n)' = n x^{n-1}\), \((c)' = 0\) y \((c\cdot x)' = c\).

Tabla de derivadas básicas:

FunciónDerivadaFunciónDerivada
\(x^t\)\(t\cdot x^{t-1}\)\(\frac{1}{x}\)\(-\frac{1}{x^2}\)
\(\sqrt{x}\)\(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)\(a^x\)\(a^x\cdot \ln a\)
\(\sin x\)\(\cos x\)\(\cos x\)\(-\sin x\)
\(\tan x\)\(\frac{1}{\cos^2 x}\)\(\log_a x\)\(\frac{1}{x\cdot \ln a}\)

donde \(t\) es real. Reglas de derivación: producto \([f\cdot g]'=f'g+fg'\); cociente \(\left[\frac{f}{g}\right]'=\frac{f'g-fg'}{[g]^2}\); función compuesta (cadena) \([f(u(x))]'=f'(u)\cdot u'(x)\).

Pasos de resolución

  1. Paso 1 — Identifica la estructura de la función: ¿es un producto de dos factores (regla del producto) o la composición de una función dentro de otra (regla de la cadena)?
  2. Paso 2 (producto) — Designa \(f(x)\) y \(g(x)\), deriva cada uno por separado y obtén \(f'(x)\) y \(g'(x)\).
  3. Paso 3 (producto) — Sustituye en la fórmula \(h'=f'g+fg'\), desarrolla los paréntesis y agrupa términos semejantes.
  4. Paso 4 (cadena) — Identifica la función interior \(g(x)\) y la exterior; deriva la exterior evaluada en la interior y multiplica por \(g'(x)\).
  5. Paso 5 — Si se pide el valor en un punto, sustituye el valor de \(x\) solo al final, una vez obtenida la expresión de la derivada.
  6. Paso 6 — Comprueba la coherencia: el grado de la derivada debe ser una unidad menor que el de la función original.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Regla del producto: dos factores lineales

Enunciado: Dada la función \(h(x)=(2x+1)(x-3)\). Calcula \(h'(x)\).

Solución:

  1. Designamos \(f(x)=2x+1\) y \(g(x)=x-3\).
  2. Derivamos cada factor: \(f'(x)=2\) y \(g'(x)=1\).
  3. Sustituimos en la regla del producto: \(h'(x)=f'g+fg'=2\,(x-3)+(2x+1)\cdot 1\).
  4. Desarrollamos: \(h'(x)=2x-6+2x+1\).
  5. Agrupamos términos semejantes: \(h'(x)=4x-5\).

Respuesta: \(h'(x)=4x-5\).

Ejemplo 2: Regla del producto: potencia por polinomio

Enunciado: Dada la función \(h(x)=x^2(2x-5)\). Calcula \(h'(x)\).

Solución:

  1. Designamos \(f(x)=x^2\) y \(g(x)=2x-5\).
  2. Derivamos: \(f'(x)=2x\) y \(g'(x)=2\).
  3. Sustituimos: \(h'(x)=2x\,(2x-5)+x^2\cdot 2\).
  4. Desarrollamos: \(h'(x)=4x^2-10x+2x^2\).
  5. Agrupamos: \(h'(x)=6x^2-10x\).

Respuesta: \(h'(x)=6x^2-10x\).

Ejemplo 3: Regla de la cadena: potencia de expresión lineal

Enunciado: Dada la función \(h(x)=(3x+2)^4\). Calcula \(h'(x)\).

Solución:

  1. La función interior es \(g(x)=3x+2\) y la exterior es la potencia cuarta.
  2. Derivamos la exterior: \(4(3x+2)^3\).
  3. Multiplicamos por la derivada de la función interior \(g'(x)=3\).
  4. Obtenemos: \(h'(x)=4(3x+2)^3\cdot 3\).
  5. Ordenamos: \(h'(x)=12(3x+2)^3\).

Respuesta: \(h'(x)=12(3x+2)^3\).

Ejemplo 4: Regla de la cadena: potencia de polinomio

Enunciado: Dada la función \(h(x)=(x^2+1)^5\). Calcula \(h'(x)\).

Solución:

  1. La función interior es \(g(x)=x^2+1\) y la exterior es la potencia quinta.
  2. Derivamos la exterior: \(5(x^2+1)^4\).
  3. Derivamos la función interior: \(g'(x)=2x\).
  4. Multiplicamos: \(h'(x)=5(x^2+1)^4\cdot 2x\).
  5. Ordenamos: \(h'(x)=10x(x^2+1)^4\).

Respuesta: \(h'(x)=10x(x^2+1)^4\).

Ejemplo 5: Regla del producto: cálculo de la derivada en un punto

Enunciado: Dada la función \(h(x)=(x^2-2x)(x+3)\). Calcula \(h'(2)\).

Solución:

  1. Designamos \(f(x)=x^2-2x\) y \(g(x)=x+3\).
  2. Derivamos: \(f'(x)=2x-2\) y \(g'(x)=1\).
  3. Sustituimos en la regla del producto: \(h'(x)=(2x-2)(x+3)+(x^2-2x)\cdot 1\).
  4. Sustituimos \(x=2\): \(h'(2)=(2\cdot 2-2)(2+3)+(2^2-2\cdot 2)\).
  5. Calculamos: \(h'(2)=(2)(5)+(4-4)=10+0=10\).

Respuesta: \(h'(2)=10\).

Errores comunes

✗ Error común: Se deriva el producto término a término y se obtiene \((f\cdot g)'=f'\cdot g'\).

✓ La forma correcta: La derivada de un producto es una suma: \(h'=f'g+fg'\). Hay que derivar cada factor por separado y conservar el otro.

✗ Error común: En la regla de la cadena se olvida multiplicar por la derivada de la función interior.

✓ La forma correcta: Después de derivar la función exterior es obligatorio multiplicar por \(g'(x)\). Por ejemplo, \([(3x+2)^4]'=4(3x+2)^3\cdot 3\) y no \(4(3x+2)^3\).

✗ Error común: Se sustituye el valor del punto al principio, antes de derivar.

✓ La forma correcta: Primero se halla la expresión de la derivada \(h'(x)\) y solo al final se sustituye el valor de \(x\). Sustituir antes hace perder la dependencia en la variable.

Consejos de práctica

  • Consejo: antes de empezar, pregúntate: «¿es un producto o una composición?» Eso determina qué regla aplicar.
  • Para la regla del producto, puedes verificar el resultado: desarrolla primero los paréntesis y deriva directamente; los dos métodos deben dar el mismo resultado.
  • Para la regla de la cadena, piensa «de fuera hacia dentro»: primero la potencia o la raíz, y luego la «derivada del interior» como factor.
  • Para calcular la derivada en un punto, deja la expresión en forma factorizada (sin desarrollar todo) — a veces un factor se anula y la sustitución se simplifica.

Resumen y fórmulas clave

Las dos reglas fundamentales:

  • Regla del producto: \(\big[f(x)g(x)\big]' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)
  • Regla de la cadena: \(\big[f(g(x))\big]' = f'(g(x))\cdot g'(x)\)
  • Potencia de una expresión: \(\big[g(x)^n\big]' = n\,g(x)^{n-1}\cdot g'(x)\)

Para calcular la derivada en un punto: primero se halla \(h'(x)\) y solo entonces se sustituye el valor de \(x\).