Règle du produit et règle de la chaîne

Règle du produit et règle de la chaîne

Lorsqu'une fonction est construite comme le produit de deux facteurs, ou comme la composition d'une fonction à l'intérieur d'une autre, on ne peut pas simplement dériver chaque partie séparément. Cette page présente les deux outils essentiels : la règle du produit et la règle de la chaîne. Nous en comprendrons l'intuition, apprendrons quand utiliser chacun, et nous entraînerons à calculer des dérivées ainsi que leur valeur en un point.

Contexte et définitions de base

Lorsque l'on multiplie deux fonctions ou que l'on en compose une à l'intérieur d'une autre, la dérivée ne se distribue pas simplement. C'est pourquoi nous disposons de deux règles fondamentales.

Règle du produit — si \(h(x)=f(x)\cdot g(x)\), alors :

\[ h'(x) = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x) \]

Intuition : chaque facteur varie indépendamment, donc la variation totale est la somme de deux contributions — on dérive d'abord le premier facteur en gardant le second, puis l'inverse. Erreur fréquente : croire que \((f\cdot g)'=f'\cdot g'\) — c'est faux.

Règle de la chaîne (fonction composée) — si \(h(x)=f\big(g(x)\big)\) (fonction extérieure \(f\) appliquée à la fonction intérieure \(g\)), alors :

\[ h'(x) = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x) \]

Intuition : on dérive la fonction extérieure comme si l'intérieure était une variable unique, puis on multiplie par la « dérivée de l'intérieure ». Ce facteur corrige le taux de variation de l'expression intérieure.

Un cas courant de la règle de la chaîne est la puissance d'une expression :

\[ \big[g(x)^n\big]' = n\,g(x)^{n-1}\cdot g'(x) \]

Rappel des dérivées usuelles utilisées : \((x^n)' = n x^{n-1}\), \((c)' = 0\) et \((c\cdot x)' = c\).

Table des dérivées usuelles :

FonctionDérivéeFonctionDérivée
\(x^t\)\(t\cdot x^{t-1}\)\(\frac{1}{x}\)\(-\frac{1}{x^2}\)
\(\sqrt{x}\)\(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)\(a^x\)\(a^x\cdot \ln a\)
\(\sin x\)\(\cos x\)\(\cos x\)\(-\sin x\)
\(\tan x\)\(\frac{1}{\cos^2 x}\)\(\log_a x\)\(\frac{1}{x\cdot \ln a}\)

où \(t\) est réel. Règles de dérivation : produit \([f\cdot g]'=f'g+fg'\) ; quotient \(\left[\frac{f}{g}\right]'=\frac{f'g-fg'}{[g]^2}\) ; fonction composée (chaîne) \([f(u(x))]'=f'(u)\cdot u'(x)\).

Étapes de résolution

  1. Étape 1 — Identifier la structure de la fonction : s'agit-il d'un produit de deux facteurs (règle du produit) ou d'une composition de fonctions (règle de la chaîne) ?
  2. Étape 2 (produit) — Poser \(f(x)\) et \(g(x)\), dériver chacun séparément pour obtenir \(f'(x)\) et \(g'(x)\).
  3. Étape 3 (produit) — Substituer dans la formule \(h'=f'g+fg'\), développer les parenthèses et regrouper les termes semblables.
  4. Étape 4 (chaîne) — Identifier la fonction intérieure \(g(x)\) et la fonction extérieure ; dériver l'extérieure appliquée à l'intérieure, puis multiplier par \(g'(x)\).
  5. Étape 5 — Si l'on demande la valeur en un point, substituer la valeur de \(x\) seulement à la fin, une fois l'expression de la dérivée obtenue.
  6. Étape 6 — Vérifier la cohérence : le degré de la dérivée est inférieur d'une unité à celui de la fonction d'origine.

Exemples résolus

Exemple 1 : Règle du produit — deux facteurs linéaires

Énoncé : Soit la fonction \(h(x)=(2x+1)(x-3)\). Calculer \(h'(x)\).

Solution :

  1. Poser \(f(x)=2x+1\) et \(g(x)=x-3\).
  2. Dériver chaque facteur : \(f'(x)=2\) et \(g'(x)=1\).
  3. Substituer dans la règle du produit : \(h'(x)=f'g+fg'=2\,(x-3)+(2x+1)\cdot 1\).
  4. Développer : \(h'(x)=2x-6+2x+1\).
  5. Regrouper les termes semblables : \(h'(x)=4x-5\).

Réponse : \(h'(x)=4x-5\).

Exemple 2 : Règle du produit — puissance fois polynôme

Énoncé : Soit la fonction \(h(x)=x^2(2x-5)\). Calculer \(h'(x)\).

Solution :

  1. Poser \(f(x)=x^2\) et \(g(x)=2x-5\).
  2. Dériver : \(f'(x)=2x\) et \(g'(x)=2\).
  3. Substituer : \(h'(x)=2x\,(2x-5)+x^2\cdot 2\).
  4. Développer : \(h'(x)=4x^2-10x+2x^2\).
  5. Regrouper : \(h'(x)=6x^2-10x\).

Réponse : \(h'(x)=6x^2-10x\).

Exemple 3 : Règle de la chaîne — puissance d'une expression linéaire

Énoncé : Soit la fonction \(h(x)=(3x+2)^4\). Calculer \(h'(x)\).

Solution :

  1. La fonction intérieure est \(g(x)=3x+2\), la fonction extérieure est la puissance quatrième.
  2. Dériver l'extérieure : \(4(3x+2)^3\).
  3. Multiplier par la dérivée de l'intérieure \(g'(x)=3\).
  4. On obtient : \(h'(x)=4(3x+2)^3\cdot 3\).
  5. Simplifier : \(h'(x)=12(3x+2)^3\).

Réponse : \(h'(x)=12(3x+2)^3\).

Exemple 4 : Règle de la chaîne — puissance d'un polynôme

Énoncé : Soit la fonction \(h(x)=(x^2+1)^5\). Calculer \(h'(x)\).

Solution :

  1. La fonction intérieure est \(g(x)=x^2+1\), la fonction extérieure est la puissance cinquième.
  2. Dériver l'extérieure : \(5(x^2+1)^4\).
  3. Dériver l'intérieure : \(g'(x)=2x\).
  4. Multiplier : \(h'(x)=5(x^2+1)^4\cdot 2x\).
  5. Simplifier : \(h'(x)=10x(x^2+1)^4\).

Réponse : \(h'(x)=10x(x^2+1)^4\).

Exemple 5 : Règle du produit — calcul de la dérivée en un point

Énoncé : Soit la fonction \(h(x)=(x^2-2x)(x+3)\). Calculer \(h'(2)\).

Solution :

  1. Poser \(f(x)=x^2-2x\) et \(g(x)=x+3\).
  2. Dériver : \(f'(x)=2x-2\) et \(g'(x)=1\).
  3. Substituer dans la règle du produit : \(h'(x)=(2x-2)(x+3)+(x^2-2x)\cdot 1\).
  4. Substituer ensuite \(x=2\) : \(h'(2)=(2\cdot 2-2)(2+3)+(2^2-2\cdot 2)\).
  5. Calculer : \(h'(2)=(2)(5)+(4-4)=10+0=10\).

Réponse : \(h'(2)=10\).

Erreurs fréquentes

✗ Erreur fréquente : On dérive un produit terme à terme et l'on obtient \((f\cdot g)'=f'\cdot g'\).

✓ La bonne méthode : La dérivée d'un produit est une somme : \(h'=f'g+fg'\). Il faut dériver chaque facteur séparément tout en conservant l'autre facteur.

✗ Erreur fréquente : Dans la règle de la chaîne, on oublie de multiplier par la dérivée de la fonction intérieure.

✓ La bonne méthode : Après avoir dérivé l'extérieure, il est obligatoire de multiplier par \(g'(x)\). Par exemple \([(3x+2)^4]'=4(3x+2)^3\cdot 3\) et non \(4(3x+2)^3\).

✗ Erreur fréquente : On substitue la valeur du point dès le début, avant de dériver.

✓ La bonne méthode : On trouve d'abord l'expression de la dérivée \(h'(x)\), puis seulement on substitue \(x\). Une substitution prématurée fait perdre la dépendance en la variable.

Conseils d'entraînement

  • Conseil — Avant de commencer, demandez-vous : « Est-ce un produit ou une composition ? » Cela détermine quelle règle appliquer.
  • Conseil — Pour la règle du produit, vous pouvez vous vérifier : développez d'abord les parenthèses et dérivez directement ; les deux méthodes doivent donner le même résultat.
  • Conseil — Pour la règle de la chaîne, pensez « de l'extérieur vers l'intérieur » : d'abord la puissance ou la racine, puis la « dérivée de l'intérieure » en facteur.
  • Conseil — Pour calculer une dérivée en un point, conservez l'expression sous forme factorisée (sans tout développer) — un facteur s'annule parfois et la substitution devient plus aisée.

Résumé et formules clés

Les deux règles fondamentales :

  • Règle du produit : \(\big[f(x)g(x)\big]' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)
  • Règle de la chaîne : \(\big[f(g(x))\big]' = f'(g(x))\cdot g'(x)\)
  • Puissance d'une expression : \(\big[g(x)^n\big]' = n\,g(x)^{n-1}\cdot g'(x)\)

Pour calculer en un point — trouver d'abord \(h'(x)\), puis substituer la valeur de \(x\).