כשמכפילים שתי פונקציות או מרכיבים אותן זו בתוך זו, הנגזרת אינה מתפלגת בפשטות. לכן יש לנו שני כללים מרכזיים.

כלל המכפלה — אם \(h(x)=f(x)\cdot g(x)\) אז:

האינטואיציה: כל אחד מהגורמים משתנה בנפרד, ולכן השינוי הכולל הוא סכום של שתי תרומות — פעם גוזרים את הגורם הראשון ומשאירים את השני, ופעם להפך. טעות נפוצה היא לחשוב ש-\((f\cdot g)'=f'\cdot g'\) — זה לא נכון.

כלל השרשרת — אם \(h(x)=f\big(g(x)\big)\) (פונקציה חיצונית \(f\) על פונקציה פנימית \(g\)) אז:

האינטואיציה: גוזרים את הפונקציה החיצונית כאילו הפנימית היא משתנה אחד, ואז מכפילים ב"נגזרת הפנימית". המכפלה הזו מתקנת את קצב השינוי של הביטוי הפנימי.

מקרה שכיח של כלל השרשרת הוא חזקה של ביטוי:

נזכיר את הנגזרות הבסיסיות שנשתמש בהן: \((x^n)' = n x^{n-1}\), \((c)' = 0\) ו-\((c\cdot x)' = c\).

טבלת נגזרות בסיסיות (סימון משרד החינוך):

כאשר \(t\) ממשי. כללי הגזירה: מכפלה \([f\cdot g]'=f'g+fg'\); מנה \(\left[\frac{f}{g}\right]'=\frac{f'g-fg'}{[g]^2}\); פונקציה מורכבת (שרשרת) \([f(u(x))]'=f'(u)\cdot u'(x)\).

דוגמה 1: כלל המכפלה — שני גורמים ליניאריים

השאלה: נתונה הפונקציה \(h(x)=(2x+1)(x-3)\). חשבו את \(h'(x)\).

פתרון:

1. נסמן \(f(x)=2x+1\) ו-\(g(x)=x-3\).
2. נגזור כל גורם: \(f'(x)=2\) ו-\(g'(x)=1\).
3. נציב בכלל המכפלה: \(h'(x)=f'g+fg'=2\,(x-3)+(2x+1)\cdot 1\).
4. נפתח: \(h'(x)=2x-6+2x+1\).
5. נאסוף איברים דומים: \(h'(x)=4x-5\).

תשובה: \(h'(x)=4x-5\).

דוגמה 2: כלל המכפלה — חזקה כפול פולינום

השאלה: נתונה הפונקציה \(h(x)=x^2(2x-5)\). חשבו את \(h'(x)\).

פתרון:

1. נסמן \(f(x)=x^2\) ו-\(g(x)=2x-5\).
2. נגזור: \(f'(x)=2x\) ו-\(g'(x)=2\).
3. נציב: \(h'(x)=2x\,(2x-5)+x^2\cdot 2\).
4. נפתח: \(h'(x)=4x^2-10x+2x^2\).
5. נאסוף: \(h'(x)=6x^2-10x\).

תשובה: \(h'(x)=6x^2-10x\).

דוגמה 3: כלל השרשרת — חזקה של ביטוי ליניארי

השאלה: נתונה הפונקציה \(h(x)=(3x+2)^4\). חשבו את \(h'(x)\).

פתרון:

1. הפונקציה הפנימית היא \(g(x)=3x+2\), והחיצונית היא חזקה רביעית.
2. נגזור את החיצונית: \(4(3x+2)^3\).
3. נכפיל בנגזרת הפנימית \(g'(x)=3\).
4. נקבל: \(h'(x)=4(3x+2)^3\cdot 3\).
5. נסדר: \(h'(x)=12(3x+2)^3\).

תשובה: \(h'(x)=12(3x+2)^3\).

דוגמה 4: כלל השרשרת — חזקה של פולינום

השאלה: נתונה הפונקציה \(h(x)=(x^2+1)^5\). חשבו את \(h'(x)\).

פתרון:

1. הפונקציה הפנימית היא \(g(x)=x^2+1\), והחיצונית היא חזקה חמישית.
2. נגזור את החיצונית: \(5(x^2+1)^4\).
3. נגזור את הפנימית: \(g'(x)=2x\).
4. נכפיל: \(h'(x)=5(x^2+1)^4\cdot 2x\).
5. נסדר: \(h'(x)=10x(x^2+1)^4\).

תשובה: \(h'(x)=10x(x^2+1)^4\).

דוגמה 5: כלל המכפלה — חישוב הנגזרת בנקודה

השאלה: נתונה הפונקציה \(h(x)=(x^2-2x)(x+3)\). חשבו את \(h'(2)\).

פתרון:

1. נסמן \(f(x)=x^2-2x\) ו-\(g(x)=x+3\).
2. נגזור: \(f'(x)=2x-2\) ו-\(g'(x)=1\).
3. נציב בכלל המכפלה: \(h'(x)=(2x-2)(x+3)+(x^2-2x)\cdot 1\).
4. נציב כעת \(x=2\): \(h'(2)=(2\cdot 2-2)(2+3)+(2^2-2\cdot 2)\).
5. נחשב: \(h'(2)=(2)(5)+(4-4)=10+0=10\).

תשובה: \(h'(2)=10\).

✗ טעות נפוצה: גוזרים מכפלה איבר־איבר ומקבלים \((f\cdot g)'=f'\cdot g'\).

✓ הדרך הנכונה: הנגזרת של מכפלה היא סכום: \(h'=f'g+fg'\). יש לגזור כל גורם בנפרד ולשמור על הגורם השני.

✗ טעות נפוצה: בכלל השרשרת שוכחים להכפיל בנגזרת הפונקציה הפנימית.

✓ הדרך הנכונה: אחרי שגוזרים את החיצונית חובה להכפיל ב-\(g'(x)\). למשל \([(3x+2)^4]'=4(3x+2)^3\cdot 3\) ולא \(4(3x+2)^3\).

✗ טעות נפוצה: מציבים את ערך הנקודה כבר בהתחלה, לפני שגוזרים.

✓ הדרך הנכונה: קודם מוצאים את ביטוי הנגזרת \(h'(x)\) ורק בסוף מציבים את \(x\). הצבה מוקדמת מאבדת את התלות במשתנה.

שני הכללים המרכזיים:

• כלל המכפלה: \(\big[f(x)g(x)\big]' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)
• כלל השרשרת: \(\big[f(g(x))\big]' = f'(g(x))\cdot g'(x)\)
• חזקה של ביטוי: \(\big[g(x)^n\big]' = n\,g(x)^{n-1}\cdot g'(x)\)

לחישוב בנקודה — קודם מוצאים את \(h'(x)\), ורק אז מציבים את ערך \(x\).