乘积法则与链式法则——复合函数求导
当一个函数由两个因子相乘构成，或由一个函数嵌套在另一个函数内部构成时，不能简单地对每个部分分别求导。本页将介绍两个核心工具：乘积法则与链式法则。我们将理解每个法则背后的直觉，学习何时使用哪个法则，并练习计算导数及某点处的导数值。
背景与基本定义
当两个函数相乘或相互嵌套时，导数不能简单拆分。因此我们有两个核心法则。
乘积法则——若 \(h(x)=f(x)\cdot g(x)\)，则：
\[ h'(x) = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x) \]直觉解释：每个因子各自变化，因此总变化是两个贡献之和——先对第一个因子求导同时保留第二个，再反过来。常见错误是误认为 \((f\cdot g)'=f'\cdot g'\)——这是错误的。
链式法则——若 \(h(x)=f\big(g(x)\big)\)（外层函数 \(f\) 作用于内层函数 \(g\)），则：
\[ h'(x) = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x) \]直觉解释：将外层函数视为以内层函数为变量求导，再乘以「内层函数的导数」。这个乘法修正了内层表达式的变化速率。
链式法则的一个常见情形是表达式的幂次：
\[ \big[g(x)^n\big]' = n\,g(x)^{n-1}\cdot g'(x) \]以下是常用基本导数公式：\((x^n)' = n x^{n-1}\)，\((c)' = 0\)，\((c\cdot x)' = c\)。
基本导数公式表：
| 函数 | 导数 | 函数 | 导数 |
|---|---|---|---|
| \(x^t\) | \(t\cdot x^{t-1}\) | \(\frac{1}{x}\) | \(-\frac{1}{x^2}\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(a^x\) | \(a^x\cdot \ln\,a\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\tan x\) | \(\frac{1}{\cos^2 x}\) | \(\log_a x\) | \(\frac{1}{x\cdot \ln\,a}\) |
其中 \(t\) 为实数。求导法则：乘积 \([f\cdot g]'=f'g+fg'\)；商 \(\left[\frac{f}{g}\right]'=\frac{f'g-fg'}{[g]^2}\)；复合函数（链式）\([f(u(x))]'=f'(u)\cdot u'(x)\)。
解题步骤
- 第一步——识别函数结构：是两个因子的乘积（乘积法则）还是一个函数嵌套在另一个函数中（链式法则）？
- 第二步（乘积）——记 \(f(x)\) 和 \(g(x)\)，分别求导得到 \(f'(x)\) 和 \(g'(x)\)。
- 第三步（乘积）——代入公式 \(h'=f'g+fg'\)，展开括号，合并同类项。
- 第四步（链式）——识别内层函数 \(g(x)\) 和外层函数；对外层函数在内层处求导，再乘以 \(g'(x)\)。
- 第五步——若求某点处的导数值，先得到导数表达式，最后再代入 \(x\) 的值。
- 第六步——检验合理性：导数的次数应比原函数低一次。
例题解析
例题 1： 乘积法则——两个线性因子
题目： 已知函数 \(h(x)=(2x+1)(x-3)\)，求 \(h'(x)\)。
解答：
- 令 \(f(x)=2x+1\)，\(g(x)=x-3\)。
- 分别求导：\(f'(x)=2\)，\(g'(x)=1\)。
- 代入乘积法则：\(h'(x)=f'g+fg'=2\,(x-3)+(2x+1)\cdot 1\)。
- 展开：\(h'(x)=2x-6+2x+1\)。
- 合并同类项：\(h'(x)=4x-5\)。
答案： \(h'(x)=4x-5\)。
例题 2： 乘积法则——幂函数乘多项式
题目： 已知函数 \(h(x)=x^2(2x-5)\)，求 \(h'(x)\)。
解答：
- 令 \(f(x)=x^2\)，\(g(x)=2x-5\)。
- 分别求导：\(f'(x)=2x\)，\(g'(x)=2\)。
- 代入：\(h'(x)=2x\,(2x-5)+x^2\cdot 2\)。
- 展开：\(h'(x)=4x^2-10x+2x^2\)。
- 合并：\(h'(x)=6x^2-10x\)。
答案： \(h'(x)=6x^2-10x\)。
例题 3： 链式法则——线性表达式的幂次
题目： 已知函数 \(h(x)=(3x+2)^4\)，求 \(h'(x)\)。
解答：
- 内层函数为 \(g(x)=3x+2\)，外层函数为四次幂。
- 对外层求导：\(4(3x+2)^3\)。
- 乘以内层函数的导数 \(g'(x)=3\)。
- 得到：\(h'(x)=4(3x+2)^3\cdot 3\)。
- 整理：\(h'(x)=12(3x+2)^3\)。
答案： \(h'(x)=12(3x+2)^3\)。
例题 4： 链式法则——多项式的幂次
题目： 已知函数 \(h(x)=(x^2+1)^5\)，求 \(h'(x)\)。
解答：
- 内层函数为 \(g(x)=x^2+1\)，外层函数为五次幂。
- 对外层求导：\(5(x^2+1)^4\)。
- 对内层求导：\(g'(x)=2x\)。
- 相乘：\(h'(x)=5(x^2+1)^4\cdot 2x\)。
- 整理：\(h'(x)=10x(x^2+1)^4\)。
答案： \(h'(x)=10x(x^2+1)^4\)。
例题 5： 乘积法则——求某点处的导数值
题目： 已知函数 \(h(x)=(x^2-2x)(x+3)\)，求 \(h'(2)\)。
解答：
- 令 \(f(x)=x^2-2x\)，\(g(x)=x+3\)。
- 分别求导：\(f'(x)=2x-2\)，\(g'(x)=1\)。
- 代入乘积法则：\(h'(x)=(2x-2)(x+3)+(x^2-2x)\cdot 1\)。
- 代入 \(x=2\)：\(h'(2)=(2\cdot 2-2)(2+3)+(2^2-2\cdot 2)\)。
- 计算：\(h'(2)=(2)(5)+(4-4)=10+0=10\)。
答案： \(h'(2)=10\)。
常见错误
✗ 常见错误： 对乘积逐项求导，误以为 \((f\cdot g)'=f'\cdot g'\)。
✓ 正确做法： 乘积的导数是求和式：\(h'=f'g+fg'\)。需对每个因子分别求导，同时保留另一个因子。
✗ 常见错误： 使用链式法则时忘记乘以内层函数的导数。
✓ 正确做法： 对外层函数求导后，必须乘以 \(g'(x)\)。例如 \([(3x+2)^4]'=4(3x+2)^3\cdot 3\)，而非 \(4(3x+2)^3\)。
✗ 常见错误： 在求导之前就代入点的值。
✓ 正确做法： 先求出导数表达式 \(h'(x)\)，最后再代入 \(x\) 的值。过早代入会丢失对变量的依赖。
练习建议
- 技巧——开始前先问自己：「这是乘积还是复合？」这决定使用哪个法则。
- 技巧——检验乘积法则：先展开括号直接求导；两种方法必须得到相同结果。
- 技巧——链式法则要「由外到内」：先处理幂次或根号，再乘以「内层导数」。
- 技巧——求某点导数值时，保持乘积形式（不全展开）——有时某个因子在该点为零，代入计算会更简便。
总结与关键公式
两个核心法则：
- 乘积法则：\(\big[f(x)g(x)\big]' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)
- 链式法则：\(\big[f(g(x))\big]' = f'(g(x))\cdot g'(x)\)
- 表达式的幂次：\(\big[g(x)^n\big]' = n\,g(x)^{n-1}\cdot g'(x)\)
求某点处的导数值——先求 \(h'(x)\)，再代入 \(x\) 的值。