حين نضرب دالتين أو نركّب إحداهما داخل الأخرى، لا تتوزع المشتقة ببساطة. لذا لدينا قاعدتان رئيسيتان.

قاعدة الضرب — إذا كان \(h(x)=f(x)\cdot g(x)\) فإن:

الحدس: كل عامل يتغير منفردًا، لذا يكون التغير الكلي مجموع مساهمتين — مرة نشتق العامل الأول ونُبقي الثاني، ومرة بالعكس. الخطأ الشائع هو الاعتقاد بأن \((f\cdot g)'=f'\cdot g'\) — وهذا غير صحيح.

قاعدة السلسلة — إذا كان \(h(x)=f\big(g(x)\big)\) (دالة خارجية \(f\) على دالة داخلية \(g\)) فإن:

الحدس: نشتق الدالة الخارجية كأن الداخلية متغير واحد، ثم نضرب في 'مشتقة الداخل'. هذا الضرب يصحح معدل تغير التعبير الداخلي.

الحالة الشائعة من قاعدة السلسلة هي أس تعبير:

نتذكر المشتقات الأساسية: \((x^n)' = n x^{n-1}\)، \((c)' = 0\) و\((c\cdot x)' = c\).

جدول المشتقات الأساسية:

حيث \(t\) حقيقي. قواعد الاشتقاق: الضرب \([f\cdot g]'=f'g+fg'\)؛ القسمة \(\left[\frac{f}{g}\right]'=\frac{f'g-fg'}{[g]^2}\)؛ الدالة المركبة (السلسلة) \([f(u(x))]'=f'(u)\cdot u'(x)\).

مثال 1: قاعدة الضرب — عاملان خطيان

السؤال: المعطى الدالة \(h(x)=(2x+1)(x-3)\). احسب \(h'(x)\).

الحل:

1. نسمي \(f(x)=2x+1\) و\(g(x)=x-3\).
2. نشتق كل عامل: \(f'(x)=2\) و\(g'(x)=1\).
3. نعوض في قاعدة الضرب: \(h'(x)=f'g+fg'=2\,(x-3)+(2x+1)\cdot 1\).
4. نفتح: \(h'(x)=2x-6+2x+1\).
5. نجمع الحدود المتشابهة: \(h'(x)=4x-5\).

الإجابة: \(h'(x)=4x-5\).

مثال 2: قاعدة الضرب — أس مضروب في كثير حدود

السؤال: المعطى الدالة \(h(x)=x^2(2x-5)\). احسب \(h'(x)\).

الحل:

1. نسمي \(f(x)=x^2\) و\(g(x)=2x-5\).
2. نشتق: \(f'(x)=2x\) و\(g'(x)=2\).
3. نعوض: \(h'(x)=2x\,(2x-5)+x^2\cdot 2\).
4. نفتح: \(h'(x)=4x^2-10x+2x^2\).
5. نجمع: \(h'(x)=6x^2-10x\).

الإجابة: \(h'(x)=6x^2-10x\).

مثال 3: قاعدة السلسلة — أس تعبير خطي

السؤال: المعطى الدالة \(h(x)=(3x+2)^4\). احسب \(h'(x)\).

الحل:

1. الدالة الداخلية هي \(g(x)=3x+2\)، والخارجية هي الأس الرابع.
2. نشتق الخارجية: \(4(3x+2)^3\).
3. نضرب في مشتقة الداخل \(g'(x)=3\).
4. نحصل على: \(h'(x)=4(3x+2)^3\cdot 3\).
5. نرتب: \(h'(x)=12(3x+2)^3\).

الإجابة: \(h'(x)=12(3x+2)^3\).

مثال 4: قاعدة السلسلة — أس كثير حدود

السؤال: المعطى الدالة \(h(x)=(x^2+1)^5\). احسب \(h'(x)\).

الحل:

1. الدالة الداخلية هي \(g(x)=x^2+1\)، والخارجية هي الأس الخامس.
2. نشتق الخارجية: \(5(x^2+1)^4\).
3. نشتق الداخلية: \(g'(x)=2x\).
4. نضرب: \(h'(x)=5(x^2+1)^4\cdot 2x\).
5. نرتب: \(h'(x)=10x(x^2+1)^4\).

الإجابة: \(h'(x)=10x(x^2+1)^4\).

مثال 5: قاعدة الضرب — حساب المشتقة عند نقطة

السؤال: المعطى الدالة \(h(x)=(x^2-2x)(x+3)\). احسب \(h'(2)\).

الحل:

1. نسمي \(f(x)=x^2-2x\) و\(g(x)=x+3\).
2. نشتق: \(f'(x)=2x-2\) و\(g'(x)=1\).
3. نعوض في قاعدة الضرب: \(h'(x)=(2x-2)(x+3)+(x^2-2x)\cdot 1\).
4. نعوض الآن \(x=2\): \(h'(2)=(2\cdot 2-2)(2+3)+(2^2-2\cdot 2)\).
5. نحسب: \(h'(2)=(2)(5)+(4-4)=10+0=10\).

الإجابة: \(h'(2)=10\).

✗ خطأ شائع: اشتقاق الضرب حدًّا بحد والحصول على \((f\cdot g)'=f'\cdot g'\).

✓ الطريقة الصحيحة: مشتقة الضرب هي مجموع: \(h'=f'g+fg'\). اشتق كل عامل منفردًا وأبقِ العامل الآخر.

✗ خطأ شائع: في قاعدة السلسلة، نسيان الضرب في مشتقة الدالة الداخلية.

✓ الطريقة الصحيحة: بعد اشتقاق الخارجية يجب الضرب في \(g'(x)\). مثلًا \([(3x+2)^4]'=4(3x+2)^3\cdot 3\) وليس \(4(3x+2)^3\).

✗ خطأ شائع: تعويض قيمة النقطة في البداية قبل الاشتقاق.

✓ الطريقة الصحيحة: ابدأ بإيجاد تعبير المشتقة \(h'(x)\) ثم عوض \(x\) في النهاية فقط. التعويض المبكر يفقد الاعتماد على المتغير.

القاعدتان الرئيسيتان:

• قاعدة الضرب: \(\big[f(x)g(x)\big]' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)
• قاعدة السلسلة: \(\big[f(g(x))\big]' = f'(g(x))\cdot g'(x)\)
• أس تعبير: \(\big[g(x)^n\big]' = n\,g(x)^{n-1}\cdot g'(x)\)

لحساب القيمة عند نقطة — ابدأ بإيجاد \(h'(x)\)، ثم عوض قيمة \(x\).