Derivada del cociente y función racional

Derivada del cociente y función racional

Una función racional es el cociente de dos polinomios. Para derivarla necesitamos la regla del cociente, una fórmula que trata simultáneamente el numerador y el denominador. En esta página presentamos la fórmula, explicamos el origen del orden de los términos y del signo en el numerador, y practicamos principalmente el cálculo del valor de la derivada en un punto concreto.

Contexto y definiciones básicas

Función racional: cociente de dos expresiones \(f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\), con \(v(x)\neq 0\).

Regla del cociente:

\[ f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\big(v(x)\big)^2} \]

Hay dos aspectos importantes: el orden del numerador importa — se empieza por \(u'v\) y luego se resta \(uv'\); el signo es un menos, por lo que no se puede intercambiar el orden. En el denominador aparece el cuadrado del denominador original.

Frase para recordarla: «derivada del numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador».

Recordemos: \((x^n)'=n x^{n-1}\), \((c)'=0\), \((ax+b)'=a\). Para el valor de la derivada en un punto, primero hallamos \(f'(x)\) y luego sustituimos.

Tabla de derivadas básicas:

FunciónDerivadaFunciónDerivada
\(x^t\)\(t\cdot x^{t-1}\)\(\frac{1}{x}\)\(-\frac{1}{x^2}\)
\(\sqrt{x}\)\(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)\(a^x\)\(a^x\cdot \ln a\)
\(\sin x\)\(\cos x\)\(\cos x\)\(-\sin x\)
\(\tan x\)\(\frac{1}{\cos^2 x}\)\(\log_a x\)\(\frac{1}{x\cdot \ln a}\)

donde \(t\) es real. Reglas de derivación: producto \([f\cdot g]'=f'g+fg'\); cociente \(\left[\frac{f}{g}\right]'=\frac{f'g-fg'}{[g]^2}\); función compuesta (cadena) \([f(u(x))]'=f'(u)\cdot u'(x)\).

Pasos de resolución

  1. Paso 1 — Identificamos el numerador \(u(x)\) y el denominador \(v(x)\).
  2. Paso 2 — Derivamos cada uno por separado y obtenemos \(u'(x)\) y \(v'(x)\).
  3. Paso 3 — Sustituimos en la fórmula \(f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) respetando el orden y el signo menos en el numerador.
  4. Paso 4 — Desarrollamos y simplificamos el numerador (el denominador suele dejarse como cuadrado).
  5. Paso 5 — Si se pide \(f'(a)\), sustituimos \(a\) ahora y calculamos numerador y denominador por separado.
  6. Paso 6 — Comprobamos que el denominador en ese punto no sea cero; si lo es, la función no está definida allí.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Regla del cociente: valor de la derivada en un punto

Enunciado: Dada la función racional \(f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}\). Calcula \(f'(2)\).

Solución:

  1. Identificamos \(u(x)=x^2+3\) y \(v(x)=x-1\).
  2. Derivamos: \(u'(x)=2x\) y \(v'(x)=1\).
  3. Aplicamos la regla del cociente: \(f'(x)=\dfrac{2x\,(x-1)-(x^2+3)\cdot 1}{(x-1)^2}\).
  4. Sustituimos \(x=2\): numerador \(=2\cdot 2\,(2-1)-(2^2+3)=4\cdot 1-7=-3\); denominador \(=(2-1)^2=1\).
  5. Dividimos: \(f'(2)=\dfrac{-3}{1}=-3\).

Respuesta: \(f'(2)=-3\).

Ejemplo 2: Cociente de expresiones lineales

Enunciado: Dada la función \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x+2}\). Calcula \(f'(1)\).

Solución:

  1. Identificamos \(u(x)=2x+1\) y \(v(x)=x+2\).
  2. Derivamos: \(u'(x)=2\) y \(v'(x)=1\).
  3. Aplicamos: \(f'(x)=\dfrac{2\,(x+2)-(2x+1)\cdot 1}{(x+2)^2}\).
  4. Simplificamos el numerador: \(2x+4-2x-1=3\), luego \(f'(x)=\dfrac{3}{(x+2)^2}\).
  5. Sustituimos \(x=1\): \(f'(1)=\dfrac{3}{(1+2)^2}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\).

Respuesta: \(f'(1)=\dfrac{1}{3}\).

Ejemplo 3: Numerador cuadrático: cálculo en un punto

Enunciado: Dada la función \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x+1}\). Calcula \(f'(0)\).

Solución:

  1. Identificamos \(u(x)=x^2-4\) y \(v(x)=x+1\).
  2. Derivamos: \(u'(x)=2x\) y \(v'(x)=1\).
  3. Aplicamos: \(f'(x)=\dfrac{2x\,(x+1)-(x^2-4)\cdot 1}{(x+1)^2}\).
  4. Sustituimos \(x=0\): numerador \(=2\cdot 0\,(0+1)-(0-4)=0-(-4)=4\); denominador \(=(0+1)^2=1\).
  5. Dividimos: \(f'(0)=\dfrac{4}{1}=4\).

Respuesta: \(f'(0)=4\).

Ejemplo 4: Cociente lineal: verificación del signo menos

Enunciado: Dada la función \(f(x)=\dfrac{3x-2}{2x+1}\). Calcula \(f'(0)\).

Solución:

  1. Identificamos \(u(x)=3x-2\) y \(v(x)=2x+1\).
  2. Derivamos: \(u'(x)=3\) y \(v'(x)=2\).
  3. Aplicamos: \(f'(x)=\dfrac{3\,(2x+1)-(3x-2)\cdot 2}{(2x+1)^2}\).
  4. Simplificamos el numerador: \(6x+3-6x+4=7\), luego \(f'(x)=\dfrac{7}{(2x+1)^2}\).
  5. Sustituimos \(x=0\): \(f'(0)=\dfrac{7}{(2\cdot 0+1)^2}=\dfrac{7}{1}=7\).

Respuesta: \(f'(0)=7\).

Ejemplo 5: Numerador cuadrático con denominador no factorizable

Enunciado: Dada la función \(f(x)=\dfrac{x^2+9}{x+3}\). Calcula \(f'(0)\).

Solución:

  1. Identificamos \(u(x)=x^2+9\) y \(v(x)=x+3\).
  2. Derivamos: \(u'(x)=2x\) y \(v'(x)=1\).
  3. Aplicamos: \(f'(x)=\dfrac{2x\,(x+3)-(x^2+9)\cdot 1}{(x+3)^2}\).
  4. Sustituimos \(x=0\): numerador \(=0\,(0+3)-(0+9)=-9\); denominador \(=(0+3)^2=9\).
  5. Dividimos: \(f'(0)=\dfrac{-9}{9}=-1\).

Respuesta: \(f'(0)=-1\).

Errores comunes

✗ Error común: Se intercambia el orden de los términos en el numerador y se escribe \(uv'-u'v\) en lugar de \(u'v-uv'\).

✓ La forma correcta: El orden es fijo: primero «derivada del numerador por el denominador», luego se resta «numerador por la derivada del denominador». Invertir el orden cambia el signo del resultado.

✗ Error común: Se olvida elevar el denominador al cuadrado y se deja \(v(x)\) en lugar de \(\big(v(x)\big)^2\).

✓ La forma correcta: En la regla del cociente el denominador es siempre el cuadrado del denominador original. Asegúrate de escribir \((v(x))^2\).

✗ Error común: Se sustituye el valor del punto desde el principio en lugar de hallar primero \(f'(x)\).

✓ La forma correcta: Primero se obtiene la expresión general de la derivada, y solo al final se sustituye \(x\). Calcula numerador y denominador por separado para evitar errores.

Consejos de práctica

  • Memoriza la frase: «derivada del numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del denominador, dividido entre el cuadrado del denominador».
  • Cuando numerador y denominador son lineales, el numerador de la derivada siempre se reduce a una constante, y la derivada queda como \(\dfrac{\text{constante}}{(\text{denominador})^2}\).
  • Antes de sustituir, verifica que el denominador en ese punto no sea cero; si lo es, la función no está definida allí y no existe derivada.
  • Mantén paréntesis alrededor de cada expresión, especialmente tras el signo menos — es la fuente principal de errores de signo.

Resumen y fórmulas clave

Regla del cociente:

\[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2} \]
  • El orden del numerador es fijo: \(u'v\) menos \(uv'\).
  • El denominador es el cuadrado del denominador original.
  • Para calcular \(f'(a)\): primero se halla \(f'(x)\) y se sustituye al final.
  • Hay que verificar que \(v(a)\neq 0\).