مشتقة المقسوم والدالة الكسرية — قاعدة القسمة

مشتقة المقسوم والدالة الكسرية — قاعدة القسمة

الدالة الكسرية هي نسبة بين كثيرتَي حدود. لاشتقاقها نحتاج قاعدة القسمة — صيغة تتعامل مع البسط والمقام في آنٍ واحد. في هذه الصفحة نتعرف على الصيغة ونفهم مصدر ترتيب الحدود والإشارة في البسط، ونتدرب على حساب قيمة المشتقة عند نقطة محددة.

الخلفية والتعريفات الأساسية

الدالة الكسرية هي نسبة بين تعبيرين: \(f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\)، حيث \(v(x)\neq 0\).

قاعدة القسمة:

\[ f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\big(v(x)\big)^2} \]

لاحظ أمرين مهمين: الترتيب في البسط مهم — نبدأ بـ\(u'v\) ثم نطرح \(uv'\)؛ والإشارة هي ناقص، لذا لا يجوز تبديل ترتيب الحدود. في المقام يظهر مربع المقام الأصلي.

وسيلة مساعدة للحفظ: 'مشتقة البسط في المقام، ناقص البسط في مشتقة المقام، الكل على مربع المقام'.

نتذكر الأدوات: \((x^n)'=n x^{n-1}\)، \((c)'=0\)، \((ax+b)'=a\). لحساب قيمة المشتقة عند نقطة نجد أولًا التعبير \(f'(x)\)، ثم نعوض قيمة \(x\).

جدول المشتقات الأساسية:

الدالةالمشتقةالدالةالمشتقة
\(x^t\)\(t\cdot x^{t-1}\)\(\frac{1}{x}\)\(-\frac{1}{x^2}\)
\(\sqrt{x}\)\(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)\(a^x\)\(a^x\cdot \ln\,a\)
\(\sin x\)\(\cos x\)\(\cos x\)\(-\sin x\)
\(\tan x\)\(\frac{1}{\cos^2 x}\)\(\log_a x\)\(\frac{1}{x\cdot \ln\,a}\)

حيث \(t\) حقيقي. قواعد الاشتقاق: الضرب \([f\cdot g]'=f'g+fg'\)؛ القسمة \(\left[\frac{f}{g}\right]'=\frac{f'g-fg'}{[g]^2}\)؛ الدالة المركبة (السلسلة) \([f(u(x))]'=f'(u)\cdot u'(x)\).

خطوات الحل

  1. الخطوة 1 — سمِّ البسط \(u(x)\) والمقام \(v(x)\).
  2. الخطوة 2 — اشتق كلًا منهما على حدة واحصل على \(u'(x)\) و\(v'(x)\).
  3. الخطوة 3 — عوض في الصيغة \(f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)، والتزم بالترتيب والناقص في البسط.
  4. الخطوة 4 — افتح البسط وبسّطه (المقام يُبقى عادةً كمربع).
  5. الخطوة 5 — إذا طُلبت \(f'(a)\)، عوض \(a\) الآن فقط، واحسب البسط والمقام منفصلَين.
  6. الخطوة 6 — تحقق أن المقام عند النقطة لا يساوي صفرًا، وإلا فالدالة غير معرفة هناك.

أمثلة محلولة

مثال 1: قاعدة القسمة — قيمة المشتقة عند نقطة

السؤال: المعطى الدالة الكسرية \(f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}\). احسب \(f'(2)\).

الحل:

  1. نسمي \(u(x)=x^2+3\) و\(v(x)=x-1\).
  2. نشتق: \(u'(x)=2x\) و\(v'(x)=1\).
  3. نعوض في قاعدة القسمة: \(f'(x)=\dfrac{2x\,(x-1)-(x^2+3)\cdot 1}{(x-1)^2}\).
  4. نعوض \(x=2\): البسط \(=2\cdot 2\,(2-1)-(2^2+3)=4\cdot 1-7=-3\)؛ المقام \(=(2-1)^2=1\).
  5. نقسم: \(f'(2)=\dfrac{-3}{1}=-3\).

الإجابة: \(f'(2)=-3\).

مثال 2: نسبة بين تعبيرين خطيين

السؤال: المعطى الدالة \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x+2}\). احسب \(f'(1)\).

الحل:

  1. نسمي \(u(x)=2x+1\) و\(v(x)=x+2\).
  2. نشتق: \(u'(x)=2\) و\(v'(x)=1\).
  3. نعوض: \(f'(x)=\dfrac{2\,(x+2)-(2x+1)\cdot 1}{(x+2)^2}\).
  4. نبسّط البسط: \(2x+4-2x-1=3\)، إذن \(f'(x)=\dfrac{3}{(x+2)^2}\).
  5. نعوض \(x=1\): \(f'(1)=\dfrac{3}{(1+2)^2}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\).

الإجابة: \(f'(1)=\dfrac{1}{3}\).

مثال 3: بسط تربيعي، حساب عند نقطة

السؤال: المعطى الدالة \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x+1}\). احسب \(f'(0)\).

الحل:

  1. نسمي \(u(x)=x^2-4\) و\(v(x)=x+1\).
  2. نشتق: \(u'(x)=2x\) و\(v'(x)=1\).
  3. نعوض: \(f'(x)=\dfrac{2x\,(x+1)-(x^2-4)\cdot 1}{(x+1)^2}\).
  4. نعوض \(x=0\): البسط \(=2\cdot 0\,(0+1)-(0-4)=0-(-4)=4\)؛ المقام \(=(0+1)^2=1\).
  5. نقسم: \(f'(0)=\dfrac{4}{1}=4\).

الإجابة: \(f'(0)=4\).

مثال 4: نسبة خطية — التحقق من مكان الناقص

السؤال: المعطى الدالة \(f(x)=\dfrac{3x-2}{2x+1}\). احسب \(f'(0)\).

الحل:

  1. نسمي \(u(x)=3x-2\) و\(v(x)=2x+1\).
  2. نشتق: \(u'(x)=3\) و\(v'(x)=2\).
  3. نعوض: \(f'(x)=\dfrac{3\,(2x+1)-(3x-2)\cdot 2}{(2x+1)^2}\).
  4. نبسّط البسط: \(6x+3-6x+4=7\)، إذن \(f'(x)=\dfrac{7}{(2x+1)^2}\).
  5. نعوض \(x=0\): \(f'(0)=\dfrac{7}{(2\cdot 0+1)^2}=\dfrac{7}{1}=7\).

الإجابة: \(f'(0)=7\).

مثال 5: بسط تربيعي بمقام غير قابل للتحليل

السؤال: المعطى الدالة \(f(x)=\dfrac{x^2+9}{x+3}\). احسب \(f'(0)\).

الحل:

  1. نسمي \(u(x)=x^2+9\) و\(v(x)=x+3\).
  2. نشتق: \(u'(x)=2x\) و\(v'(x)=1\).
  3. نعوض: \(f'(x)=\dfrac{2x\,(x+3)-(x^2+9)\cdot 1}{(x+3)^2}\).
  4. نعوض \(x=0\): البسط \(=0\,(0+3)-(0+9)=-9\)؛ المقام \(=(0+3)^2=9\).
  5. نقسم: \(f'(0)=\dfrac{-9}{9}=-1\).

الإجابة: \(f'(0)=-1\).

أخطاء شائعة

✗ خطأ شائع: تبديل ترتيب الحدود في البسط وكتابة \(uv'-u'v\) بدلًا من \(u'v-uv'\).

✓ الطريقة الصحيحة: الترتيب ثابت: أولًا 'مشتقة البسط في المقام'، ثم نطرح 'البسط في مشتقة المقام'. تبديل الترتيب يُغيّر إشارة النتيجة.

✗ خطأ شائع: نسيان رفع المقام للمربع والإبقاء على \(v(x)\) بدلًا من \(\big(v(x)\big)^2\).

✓ الطريقة الصحيحة: المقام في قاعدة القسمة هو دائمًا مربع المقام الأصلي. تأكد أنك كتبت \((v(x))^2\).

✗ خطأ شائع: تعويض قيمة النقطة في البداية بدلًا من إيجاد \(f'(x)\) أولًا.

✓ الطريقة الصحيحة: ابدأ بإيجاد التعبير العام للمشتقة، ثم عوض \(x\) في النهاية. احسب البسط والمقام منفصلَين لتتجنب أخطاء الإشارة.

نصائح للتمرين

  • نصيحة — احفظ العبارة: 'مشتقة البسط في المقام، ناقص البسط في مشتقة المقام، على مربع المقام'.
  • حين يكون البسط والمقام خطيَّين، يتحول بسط المشتقة دائمًا إلى ثابت، وتكون المشتقة \(\dfrac{\text{ثابت}}{(\text{المقام})^2}\).
  • قبل التعويض تأكد أن المقام عند النقطة لا يساوي صفرًا؛ إن كان كذلك فالدالة غير معرفة هناك ولا توجد مشتقة.
  • احتفظ بالأقواس حول كل تعبير، خاصةً بعد الناقص — هذا هو المصدر الرئيسي لأخطاء الإشارة.

ملخّص وصيغ أساسية

قاعدة القسمة:

\[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2} \]
  • الترتيب في البسط ثابت: \(u'v\) ناقص \(uv'\).
  • المقام هو مربع المقام الأصلي.
  • لحساب \(f'(a)\): نجد \(f'(x)\) أولًا ثم نعوض في النهاية.
  • نتحقق أن \(v(a)\neq 0\).