商法则——有理函数求导
有理函数是两个多项式之商。对其求导需要商法则——一个同时处理分子与分母的公式。本页将介绍该公式，说明分子各项顺序与符号的由来，并重点练习在某点处求导数值。
背景与基本定义
有理函数是两个表达式之商：\(f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\)，其中 \(v(x)\neq 0\)。
商法则：
\[ f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\big(v(x)\big)^2} \]注意两点：分子的顺序很重要——先写 \(u'v\)，再减去 \(uv'\)；符号为负号，因此不能交换各项顺序。分母为原分母的平方。
记忆口诀：「分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，除以分母的平方」。
常用工具：\((x^n)'=n x^{n-1}\)，\((c)'=0\)，\((ax+b)'=a\)。求某点处的导数值，先求 \(f'(x)\) 的表达式，再代入 \(x\) 的值。
基本导数公式表：
| 函数 | 导数 | 函数 | 导数 |
|---|---|---|---|
| \(x^t\) | \(t\cdot x^{t-1}\) | \(\frac{1}{x}\) | \(-\frac{1}{x^2}\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(a^x\) | \(a^x\cdot \ln\,a\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\tan x\) | \(\frac{1}{\cos^2 x}\) | \(\log_a x\) | \(\frac{1}{x\cdot \ln\,a}\) |
其中 \(t\) 为实数。求导法则：乘积 \([f\cdot g]'=f'g+fg'\)；商 \(\left[\frac{f}{g}\right]'=\frac{f'g-fg'}{[g]^2}\)；复合函数（链式）\([f(u(x))]'=f'(u)\cdot u'(x)\)。
解题步骤
- 第一步——记分子为 \(u(x)\)，分母为 \(v(x)\)。
- 第二步——分别求导，得到 \(u'(x)\) 和 \(v'(x)\)。
- 第三步——代入公式 \(f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)，注意分子的顺序和负号。
- 第四步——展开并化简分子（分母通常保留为平方形式）。
- 第五步——若求 \(f'(a)\)，现在代入 \(a\)，分别计算分子和分母的值。
- 第六步——验证该点处分母不为零，否则函数在该点无定义。
例题解析
例题 1： 商法则——求某点处的导数值
题目： 已知有理函数 \(f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}\)，求 \(f'(2)\)。
解答：
- 令 \(u(x)=x^2+3\)，\(v(x)=x-1\)。
- 求导：\(u'(x)=2x\)，\(v'(x)=1\)。
- 代入商法则：\(f'(x)=\dfrac{2x\,(x-1)-(x^2+3)\cdot 1}{(x-1)^2}\)。
- 代入 \(x=2\)：分子 \(=2\cdot 2\,(2-1)-(2^2+3)=4\cdot 1-7=-3\)；分母 \(=(2-1)^2=1\)。
- 相除：\(f'(2)=\dfrac{-3}{1}=-3\)。
答案： \(f'(2)=-3\)。
例题 2： 两个线性表达式之商
题目： 已知函数 \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x+2}\)，求 \(f'(1)\)。
解答：
- 令 \(u(x)=2x+1\)，\(v(x)=x+2\)。
- 求导：\(u'(x)=2\)，\(v'(x)=1\)。
- 代入：\(f'(x)=\dfrac{2\,(x+2)-(2x+1)\cdot 1}{(x+2)^2}\)。
- 化简分子：\(2x+4-2x-1=3\)，故 \(f'(x)=\dfrac{3}{(x+2)^2}\)。
- 代入 \(x=1\)：\(f'(1)=\dfrac{3}{(1+2)^2}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\)。
答案： \(f'(1)=\dfrac{1}{3}\)。
例题 3： 二次分子，求某点处的值
题目： 已知函数 \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x+1}\)，求 \(f'(0)\)。
解答：
- 令 \(u(x)=x^2-4\)，\(v(x)=x+1\)。
- 求导：\(u'(x)=2x\)，\(v'(x)=1\)。
- 代入：\(f'(x)=\dfrac{2x\,(x+1)-(x^2-4)\cdot 1}{(x+1)^2}\)。
- 代入 \(x=0\)：分子 \(=2\cdot 0\,(0+1)-(0-4)=0-(-4)=4\)；分母 \(=(0+1)^2=1\)。
- 相除：\(f'(0)=\dfrac{4}{1}=4\)。
答案： \(f'(0)=4\)。
例题 4： 线性之商——验证负号位置正确
题目： 已知函数 \(f(x)=\dfrac{3x-2}{2x+1}\)，求 \(f'(0)\)。
解答：
- 令 \(u(x)=3x-2\)，\(v(x)=2x+1\)。
- 求导：\(u'(x)=3\)，\(v'(x)=2\)。
- 代入：\(f'(x)=\dfrac{3\,(2x+1)-(3x-2)\cdot 2}{(2x+1)^2}\)。
- 化简分子：\(6x+3-6x+4=7\)，故 \(f'(x)=\dfrac{7}{(2x+1)^2}\)。
- 代入 \(x=0\)：\(f'(0)=\dfrac{7}{(2\cdot 0+1)^2}=\dfrac{7}{1}=7\)。
答案： \(f'(0)=7\)。
例题 5： 二次分子，非整除分母
题目： 已知函数 \(f(x)=\dfrac{x^2+9}{x+3}\)，求 \(f'(0)\)。
解答：
- 令 \(u(x)=x^2+9\)，\(v(x)=x+3\)。
- 求导：\(u'(x)=2x\)，\(v'(x)=1\)。
- 代入：\(f'(x)=\dfrac{2x\,(x+3)-(x^2+9)\cdot 1}{(x+3)^2}\)。
- 代入 \(x=0\)：分子 \(=0\,(0+3)-(0+9)=-9\)；分母 \(=(0+3)^2=9\)。
- 相除：\(f'(0)=\dfrac{-9}{9}=-1\)。
答案： \(f'(0)=-1\)。
常见错误
✗ 常见错误： 交换分子中各项的顺序，写成 \(uv'-u'v\) 而非 \(u'v-uv'\)。
✓ 正确做法： 顺序固定：先写「分子的导数乘分母」，再减去「分子乘分母的导数」。交换顺序会改变结果的符号。
✗ 常见错误： 忘记将分母平方，保留了 \(v(x)\) 而非 \(\big(v(x)\big)^2\)。
✓ 正确做法： 商法则的分母始终是原分母的平方。确保写的是 \((v(x))^2\)。
✗ 常见错误： 在求 \(f'(x)\) 之前就代入点的值。
✓ 正确做法： 先求出一般导数表达式，再代入 \(x\)。分别计算分子和分母可减少出错。
练习建议
- 技巧——背诵口诀：「分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，除以分母的平方」。
- 技巧——当分子和分母均为线性时，导数的分子总会化简为常数，导数形如 \(\dfrac{\text{常数}}{(\text{分母})^2}\)。
- 技巧——代入之前，验证该点处分母不为零；若为零，则函数在该点无定义，导数不存在。
- 技巧——保留所有表达式的括号，尤其是负号之后——这是符号错误的主要来源。
总结与关键公式
商法则：
\[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2} \]- 分子顺序固定：\(u'v\) 减去 \(uv'\)。
- 分母为原分母的平方。
- 求 \(f'(a)\)：先求 \(f'(x)\)，最后再代入。
- 验证 \(v(a)\neq 0\)。