נגזרת מנה ופונקציה רציונלית — כלל המנה

נגזרת מנה ופונקציה רציונלית — כלל המנה

פונקציה רציונלית היא מנה של שני פולינומים. כדי לגזור אותה אנו זקוקים לכלל המנה — נוסחה שמטפלת במונה ובמכנה בו-זמנית. בדף זה נכיר את הנוסחה, נבין מהיכן מגיע סדר האיברים והסימן במונה, ונתרגל בעיקר חישוב ערך הנגזרת בנקודה מסוימת.

רקע והגדרות בסיסיות

פונקציה רציונלית היא מנה של שני ביטויים: \(f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\), כאשר \(v(x)\neq 0\).

כלל המנה:

\[ f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\big(v(x)\big)^2} \]

שימו לב לשני דברים חשובים: הסדר במונה משנה — מתחילים מ-\(u'v\) ואז מחסירים \(uv'\); הסימן הוא מינוס, ולכן אסור להחליף את סדר האיברים. במכנה מופיע ריבוע המכנה המקורי.

דרך עזר לזכירה: 'נגזרת המונה כפול המכנה, פחות המונה כפול נגזרת המכנה, הכול לחלק לריבוע המכנה'.

נזכיר את הכלים: \((x^n)'=n x^{n-1}\), \((c)'=0\), \((ax+b)'=a\). לחישוב ערך הנגזרת בנקודה נמצא תחילה את הביטוי \(f'(x)\), ורק אז נציב את ערך \(x\).

טבלת נגזרות בסיסיות (סימון משרד החינוך):

פונקציהנגזרתפונקציהנגזרת
\(x^t\)\(t\cdot x^{t-1}\)\(\frac{1}{x}\)\(-\frac{1}{x^2}\)
\(\sqrt{x}\)\(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)\(a^x\)\(a^x\cdot \ell\mathrm{n}\,a\)
\(\sin x\)\(\cos x\)\(\cos x\)\(-\sin x\)
\(\tan x\)\(\frac{1}{\cos^2 x}\)\(\ell\mathrm{og}_a x\)\(\frac{1}{x\cdot \ell\mathrm{n}\,a}\)

כאשר \(t\) ממשי. כללי הגזירה: מכפלה \([f\cdot g]'=f'g+fg'\); מנה \(\left[\frac{f}{g}\right]'=\frac{f'g-fg'}{[g]^2}\); פונקציה מורכבת (שרשרת) \([f(u(x))]'=f'(u)\cdot u'(x)\).

שלבי פתרון

  1. שלב 1 — סמנו את המונה \(u(x)\) ואת המכנה \(v(x)\).
  2. שלב 2 — גזרו כל אחד בנפרד וקבלו \(u'(x)\) ו-\(v'(x)\).
  3. שלב 3 — הציבו בנוסחה \(f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\), והקפידו על הסדר והמינוס במונה.
  4. שלב 4 — פתחו וצמצמו את המונה (את המכנה לרוב משאירים כריבוע).
  5. שלב 5 — אם מבקשים \(f'(a)\), הציבו את \(a\) רק עכשיו, וחשבו בנפרד את המונה והמכנה.
  6. שלב 6 — בדקו שהמכנה בנקודה אינו אפס, אחרת הפונקציה אינה מוגדרת שם.

דוגמאות פתורות

דוגמה 1: כלל המנה — ערך הנגזרת בנקודה

השאלה: נתונה הפונקציה הרציונלית \(f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}\). חשבו את \(f'(2)\).

פתרון:

  1. נסמן \(u(x)=x^2+3\) ו-\(v(x)=x-1\).
  2. נגזור: \(u'(x)=2x\) ו-\(v'(x)=1\).
  3. נציב בכלל המנה: \(f'(x)=\dfrac{2x\,(x-1)-(x^2+3)\cdot 1}{(x-1)^2}\).
  4. נציב \(x=2\): המונה \(=2\cdot 2\,(2-1)-(2^2+3)=4\cdot 1-7=-3\); המכנה \(=(2-1)^2=1\).
  5. נחלק: \(f'(2)=\dfrac{-3}{1}=-3\).

תשובה: \(f'(2)=-3\).

דוגמה 2: מנה של ביטויים ליניאריים

השאלה: נתונה הפונקציה \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x+2}\). חשבו את \(f'(1)\).

פתרון:

  1. נסמן \(u(x)=2x+1\) ו-\(v(x)=x+2\).
  2. נגזור: \(u'(x)=2\) ו-\(v'(x)=1\).
  3. נציב: \(f'(x)=\dfrac{2\,(x+2)-(2x+1)\cdot 1}{(x+2)^2}\).
  4. נפשט את המונה: \(2x+4-2x-1=3\), ולכן \(f'(x)=\dfrac{3}{(x+2)^2}\).
  5. נציב \(x=1\): \(f'(1)=\dfrac{3}{(1+2)^2}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\).

תשובה: \(f'(1)=\dfrac{1}{3}\).

דוגמה 3: מונה ריבועי, חישוב בנקודה

השאלה: נתונה הפונקציה \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x+1}\). חשבו את \(f'(0)\).

פתרון:

  1. נסמן \(u(x)=x^2-4\) ו-\(v(x)=x+1\).
  2. נגזור: \(u'(x)=2x\) ו-\(v'(x)=1\).
  3. נציב: \(f'(x)=\dfrac{2x\,(x+1)-(x^2-4)\cdot 1}{(x+1)^2}\).
  4. נציב \(x=0\): המונה \(=2\cdot 0\,(0+1)-(0-4)=0-(-4)=4\); המכנה \(=(0+1)^2=1\).
  5. נחלק: \(f'(0)=\dfrac{4}{1}=4\).

תשובה: \(f'(0)=4\).

דוגמה 4: מנה ליניארית — בדיקה שהמינוס במקום

השאלה: נתונה הפונקציה \(f(x)=\dfrac{3x-2}{2x+1}\). חשבו את \(f'(0)\).

פתרון:

  1. נסמן \(u(x)=3x-2\) ו-\(v(x)=2x+1\).
  2. נגזור: \(u'(x)=3\) ו-\(v'(x)=2\).
  3. נציב: \(f'(x)=\dfrac{3\,(2x+1)-(3x-2)\cdot 2}{(2x+1)^2}\).
  4. נפשט את המונה: \(6x+3-6x+4=7\), ולכן \(f'(x)=\dfrac{7}{(2x+1)^2}\).
  5. נציב \(x=0\): \(f'(0)=\dfrac{7}{(2\cdot 0+1)^2}=\dfrac{7}{1}=7\).

תשובה: \(f'(0)=7\).

דוגמה 5: מונה ריבועי במכנה אי-שלם

השאלה: נתונה הפונקציה \(f(x)=\dfrac{x^2+9}{x+3}\). חשבו את \(f'(0)\).

פתרון:

  1. נסמן \(u(x)=x^2+9\) ו-\(v(x)=x+3\).
  2. נגזור: \(u'(x)=2x\) ו-\(v'(x)=1\).
  3. נציב: \(f'(x)=\dfrac{2x\,(x+3)-(x^2+9)\cdot 1}{(x+3)^2}\).
  4. נציב \(x=0\): המונה \(=0\,(0+3)-(0+9)=-9\); המכנה \(=(0+3)^2=9\).
  5. נחלק: \(f'(0)=\dfrac{-9}{9}=-1\).

תשובה: \(f'(0)=-1\).

טעויות נפוצות

✗ טעות נפוצה: מחליפים את סדר האיברים במונה וכותבים \(uv'-u'v\) במקום \(u'v-uv'\).

✓ הדרך הנכונה: הסדר קבוע: קודם 'נגזרת המונה כפול המכנה', ואז מחסירים 'המונה כפול נגזרת המכנה'. החלפת הסדר הופכת את הסימן של התוצאה.

✗ טעות נפוצה: שוכחים להעלות את המכנה בריבוע ומשאירים \(v(x)\) במקום \(\big(v(x)\big)^2\).

✓ הדרך הנכונה: המכנה בכלל המנה הוא תמיד ריבוע המכנה המקורי. ודאו שכתבתם \((v(x))^2\).

✗ טעות נפוצה: מציבים את ערך הנקודה כבר בהתחלה במקום למצוא קודם את \(f'(x)\).

✓ הדרך הנכונה: תחילה מוצאים את ביטוי הנגזרת הכללי, ורק אז מציבים את \(x\). חשבו בנפרד את המונה והמכנה כדי להימנע מטעויות.

טיפים לתרגול

  • טיפ — שננו את המשפט: 'נגזרת המונה כפול המכנה, פחות המונה כפול נגזרת המכנה, לחלק לריבוע המכנה'.
  • טיפ — כשהמונה והמכנה ליניאריים, המונה של הנגזרת מצטמצם תמיד לקבוע, והנגזרת היא \(\dfrac{\text{קבוע}}{(\text{מכנה})^2}\).
  • טיפ — לפני ההצבה ודאו שהמכנה בנקודה אינו אפס; אם הוא אפס, הפונקציה לא מוגדרת שם ואין נגזרת.
  • טיפ — שמרו על סוגריים סביב כל ביטוי, במיוחד אחרי המינוס — זו מקור עיקרי לטעויות סימן.

סיכום ונוסחאות מפתח

כלל המנה:

\[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2} \]
  • הסדר במונה קבוע: \(u'v\) מינוס \(uv'\).
  • המכנה הוא ריבוע המכנה המקורי.
  • לחישוב \(f'(a)\): מוצאים תחילה את \(f'(x)\) ומציבים בסוף.
  • מוודאים ש-\(v(a)\neq 0\).