Règle du quotient — dérivée d'une fraction

Règle du quotient — dérivée d'une fraction

Une fonction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Pour la dériver, on utilise la règle du quotient — une formule qui traite simultanément le numérateur et le dénominateur. Cette page présente la formule, explique l'origine de l'ordre des termes et du signe au numérateur, et s'entraîne principalement au calcul de la valeur de la dérivée en un point donné.

Contexte et définitions de base

Fonction rationnelle : quotient de deux expressions, \(f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\), avec \(v(x)\neq 0\).

Règle du quotient :

\[ f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\big(v(x)\big)^2} \]

Deux points importants à retenir : l'ordre au numérateur est crucial — on commence par \(u'v\) puis on soustrait \(uv'\) ; le signe est un moins, et l'on ne peut donc pas intervertir les termes. Au dénominateur figure le carré du dénominateur d'origine.

Moyen mnémotechnique : « dérivée du numérateur fois le dénominateur, moins le numérateur fois la dérivée du dénominateur, le tout divisé par le carré du dénominateur ».

Rappel des outils : \((x^n)'=n x^{n-1}\), \((c)'=0\), \((ax+b)'=a\). Pour calculer la dérivée en un point, on détermine d'abord l'expression \(f'(x)\), puis on substitue la valeur de \(x\).

Table des dérivées usuelles :

FonctionDérivéeFonctionDérivée
\(x^t\)\(t\cdot x^{t-1}\)\(\frac{1}{x}\)\(-\frac{1}{x^2}\)
\(\sqrt{x}\)\(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)\(a^x\)\(a^x\cdot \ln a\)
\(\sin x\)\(\cos x\)\(\cos x\)\(-\sin x\)
\(\tan x\)\(\frac{1}{\cos^2 x}\)\(\log_a x\)\(\frac{1}{x\cdot \ln a}\)

où \(t\) est réel. Règles de dérivation : produit \([f\cdot g]'=f'g+fg'\) ; quotient \(\left[\frac{f}{g}\right]'=\frac{f'g-fg'}{[g]^2}\) ; fonction composée (chaîne) \([f(u(x))]'=f'(u)\cdot u'(x)\).

Étapes de résolution

  1. Étape 1 — Identifier le numérateur \(u(x)\) et le dénominateur \(v(x)\).
  2. Étape 2 — Dériver chacun séparément pour obtenir \(u'(x)\) et \(v'(x)\).
  3. Étape 3 — Substituer dans la formule \(f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) en respectant l'ordre et le signe moins au numérateur.
  4. Étape 4 — Développer et simplifier le numérateur (le dénominateur reste généralement sous forme de carré).
  5. Étape 5 — Si l'on demande \(f'(a)\), substituer \(a\) seulement maintenant, en calculant séparément le numérateur et le dénominateur.
  6. Étape 6 — Vérifier que le dénominateur en ce point n'est pas nul ; sinon la fonction n'y est pas définie.

Exemples résolus

Exemple 1 : Règle du quotient — valeur de la dérivée en un point

Énoncé : Soit la fonction rationnelle \(f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}\). Calculer \(f'(2)\).

Solution :

  1. Poser \(u(x)=x^2+3\) et \(v(x)=x-1\).
  2. Dériver : \(u'(x)=2x\) et \(v'(x)=1\).
  3. Substituer dans la règle du quotient : \(f'(x)=\dfrac{2x\,(x-1)-(x^2+3)\cdot 1}{(x-1)^2}\).
  4. Substituer \(x=2\) : numérateur \(=2\cdot 2\,(2-1)-(2^2+3)=4\cdot 1-7=-3\) ; dénominateur \(=(2-1)^2=1\).
  5. Diviser : \(f'(2)=\dfrac{-3}{1}=-3\).

Réponse : \(f'(2)=-3\).

Exemple 2 : Quotient de deux expressions linéaires

Énoncé : Soit la fonction \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x+2}\). Calculer \(f'(1)\).

Solution :

  1. Poser \(u(x)=2x+1\) et \(v(x)=x+2\).
  2. Dériver : \(u'(x)=2\) et \(v'(x)=1\).
  3. Substituer : \(f'(x)=\dfrac{2\,(x+2)-(2x+1)\cdot 1}{(x+2)^2}\).
  4. Simplifier le numérateur : \(2x+4-2x-1=3\), donc \(f'(x)=\dfrac{3}{(x+2)^2}\).
  5. Substituer \(x=1\) : \(f'(1)=\dfrac{3}{(1+2)^2}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\).

Réponse : \(f'(1)=\dfrac{1}{3}\).

Exemple 3 : Numérateur du second degré, calcul en un point

Énoncé : Soit la fonction \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x+1}\). Calculer \(f'(0)\).

Solution :

  1. Poser \(u(x)=x^2-4\) et \(v(x)=x+1\).
  2. Dériver : \(u'(x)=2x\) et \(v'(x)=1\).
  3. Substituer : \(f'(x)=\dfrac{2x\,(x+1)-(x^2-4)\cdot 1}{(x+1)^2}\).
  4. Substituer \(x=0\) : numérateur \(=2\cdot 0\,(0+1)-(0-4)=0-(-4)=4\) ; dénominateur \(=(0+1)^2=1\).
  5. Diviser : \(f'(0)=\dfrac{4}{1}=4\).

Réponse : \(f'(0)=4\).

Exemple 4 : Quotient linéaire — vérification du signe moins

Énoncé : Soit la fonction \(f(x)=\dfrac{3x-2}{2x+1}\). Calculer \(f'(0)\).

Solution :

  1. Poser \(u(x)=3x-2\) et \(v(x)=2x+1\).
  2. Dériver : \(u'(x)=3\) et \(v'(x)=2\).
  3. Substituer : \(f'(x)=\dfrac{3\,(2x+1)-(3x-2)\cdot 2}{(2x+1)^2}\).
  4. Simplifier le numérateur : \(6x+3-6x+4=7\), donc \(f'(x)=\dfrac{7}{(2x+1)^2}\).
  5. Substituer \(x=0\) : \(f'(0)=\dfrac{7}{(2\cdot 0+1)^2}=\dfrac{7}{1}=7\).

Réponse : \(f'(0)=7\).

Exemple 5 : Numérateur du second degré avec dénominateur non factorisable

Énoncé : Soit la fonction \(f(x)=\dfrac{x^2+9}{x+3}\). Calculer \(f'(0)\).

Solution :

  1. Poser \(u(x)=x^2+9\) et \(v(x)=x+3\).
  2. Dériver : \(u'(x)=2x\) et \(v'(x)=1\).
  3. Substituer : \(f'(x)=\dfrac{2x\,(x+3)-(x^2+9)\cdot 1}{(x+3)^2}\).
  4. Substituer \(x=0\) : numérateur \(=0\,(0+3)-(0+9)=-9\) ; dénominateur \(=(0+3)^2=9\).
  5. Diviser : \(f'(0)=\dfrac{-9}{9}=-1\).

Réponse : \(f'(0)=-1\).

Erreurs fréquentes

✗ Erreur fréquente : On intervertit l'ordre des termes au numérateur et l'on écrit \(uv'-u'v\) au lieu de \(u'v-uv'\).

✓ La bonne méthode : L'ordre est fixé : d'abord « dérivée du numérateur fois le dénominateur », puis on soustrait « numérateur fois dérivée du dénominateur ». Intervertir l'ordre inverse le signe du résultat.

✗ Erreur fréquente : On oublie d'élever le dénominateur au carré et on laisse \(v(x)\) au lieu de \(\big(v(x)\big)^2\).

✓ La bonne méthode : Le dénominateur dans la règle du quotient est toujours le carré du dénominateur d'origine. Vérifier que l'on a bien écrit \((v(x))^2\).

✗ Erreur fréquente : On substitue la valeur du point dès le début au lieu de trouver d'abord \(f'(x)\).

✓ La bonne méthode : On détermine d'abord l'expression générale de la dérivée, puis seulement on substitue \(x\). Calculer séparément le numérateur et le dénominateur permet d'éviter les erreurs.

Conseils d'entraînement

  • Conseil — Mémorisez la phrase : « dérivée du numérateur fois le dénominateur, moins le numérateur fois la dérivée du dénominateur, divisé par le carré du dénominateur ».
  • Conseil — Quand le numérateur et le dénominateur sont linéaires, le numérateur de la dérivée se simplifie toujours en une constante, et la dérivée prend la forme \(\dfrac{\text{constante}}{(\text{dénominateur})^2}\).
  • Conseil — Avant la substitution, vérifier que le dénominateur en ce point n'est pas nul ; s'il l'est, la fonction n'est pas définie en ce point et il n'y a pas de dérivée.
  • Conseil — Conserver des parenthèses autour de chaque expression, en particulier après le signe moins — c'est la principale source d'erreurs de signe.

Résumé et formules clés

Règle du quotient :

\[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2} \]
  • L'ordre au numérateur est fixé : \(u'v\) moins \(uv'\).
  • Le dénominateur est le carré du dénominateur d'origine.
  • Pour calculer \(f'(a)\) : trouver d'abord \(f'(x)\), substituer à la fin.
  • Vérifier que \(v(a)\neq 0\).