La raíz cuadrada es en realidad una potencia de exponente mitad: \(\sqrt{x}=x^{1/2}\). Por tanto, la derivada básica es:

Cuando bajo el radical hay una expresión completa, aplicamos la regla de la cadena: la función exterior es la raíz y la función interior es la expresión \(g(x)\). Obtenemos la fórmula general:

La intuición: derivamos la raíz de la manera habitual (\(\tfrac{1}{2\sqrt{\;}}\)) y luego multiplicamos por la «derivada de la función interior» \(g'(x)\), como en cualquier función compuesta.

Recordemos: \((ax+b)'=a\) y \((x^2+c)'=2x\). Para calcular el valor de la derivada en un punto, primero obtenemos la expresión de la derivada, sustituimos \(x\) y finalmente calculamos la raíz del denominador.

Tabla de derivadas básicas:

donde \(t\) es real. Reglas de derivación: producto \([f\cdot g]'=f'g+fg'\); cociente \(\left[\frac{f}{g}\right]'=\frac{f'g-fg'}{[g]^2}\); función compuesta (cadena) \([f(u(x))]'=f'(u)\cdot u'(x)\).

Ejemplo 1: Raíz básica: derivada en un punto

Enunciado: Dada la función \(f(x)=\sqrt{x}\). Calcula \(f'(9)\).

Solución:

1. La derivada básica de la raíz es: \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
2. Sustituimos \(x=9\): \(f'(9)=\dfrac{1}{2\sqrt{9}}\).
3. Calculamos la raíz: \(\sqrt{9}=3\).
4. Concluimos: \(f'(9)=\dfrac{1}{2\cdot 3}=\dfrac{1}{6}\).

Respuesta: \(f'(9)=\dfrac{1}{6}\).

Ejemplo 2: Raíz de una expresión lineal

Enunciado: Dada la función \(f(x)=\sqrt{2x}\). Calcula \(f'(8)\).

Solución:

1. La función interior es \(g(x)=2x\), luego \(g'(x)=2\).
2. Por la regla de la cadena: \(f'(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x}}\).
3. Sustituimos \(x=8\): \(f'(8)=\dfrac{1}{\sqrt{2\cdot 8}}=\dfrac{1}{\sqrt{16}}\).
4. Calculamos: \(\sqrt{16}=4\), luego \(f'(8)=\dfrac{1}{4}\).

Respuesta: \(f'(8)=\dfrac{1}{4}\).

Ejemplo 3: Raíz de una expresión lineal general

Enunciado: Dada la función \(f(x)=\sqrt{4x+1}\). Calcula \(f'(2)\).

Solución:

1. La función interior es \(g(x)=4x+1\), luego \(g'(x)=4\).
2. Por la regla de la cadena: \(f'(x)=\dfrac{4}{2\sqrt{4x+1}}=\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}}\).
3. Sustituimos \(x=2\): \(f'(2)=\dfrac{2}{\sqrt{4\cdot 2+1}}=\dfrac{2}{\sqrt{9}}\).
4. Calculamos: \(\sqrt{9}=3\), luego \(f'(2)=\dfrac{2}{3}\).

Respuesta: \(f'(2)=\dfrac{2}{3}\).

Ejemplo 4: Raíz de una expresión cuadrática

Enunciado: Dada la función \(f(x)=\sqrt{x^2+9}\). Calcula \(f'(4)\).

Solución:

1. La función interior es \(g(x)=x^2+9\), luego \(g'(x)=2x\).
2. Por la regla de la cadena: \(f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+9}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}\).
3. Sustituimos \(x=4\): \(f'(4)=\dfrac{4}{\sqrt{4^2+9}}=\dfrac{4}{\sqrt{25}}\).
4. Calculamos: \(\sqrt{25}=5\), luego \(f'(4)=\dfrac{4}{5}\).

Respuesta: \(f'(4)=\dfrac{4}{5}\).

Ejemplo 5: Raíz con función interior decreciente

Enunciado: Dada la función \(f(x)=\sqrt{25-x}\). Calcula \(f'(9)\).

Solución:

1. La función interior es \(g(x)=25-x\), luego \(g'(x)=-1\).
2. Por la regla de la cadena: \(f'(x)=\dfrac{-1}{2\sqrt{25-x}}\).
3. Sustituimos \(x=9\): \(f'(9)=\dfrac{-1}{2\sqrt{25-9}}=\dfrac{-1}{2\sqrt{16}}\).
4. Calculamos: \(\sqrt{16}=4\), luego \(f'(9)=\dfrac{-1}{2\cdot 4}=-\dfrac{1}{8}\).
5. El signo negativo es coherente: la función decrece cuando \(x\) aumenta.

Respuesta: \(f'(9)=-\dfrac{1}{8}\).

✗ Error común: Se deriva la raíz sin aplicar la regla de la cadena y se escribe \(\big(\sqrt{g(x)}\big)'=\dfrac{1}{2\sqrt{g(x)}}\) sin el factor \(g'(x)\).

✓ La forma correcta: Cuando hay una expresión bajo el radical, es obligatorio multiplicar por la derivada de la función interior: \(\dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}\). Por ejemplo, \((\sqrt{4x+1})'=\dfrac{4}{2\sqrt{4x+1}}\).

✗ Error común: Se olvida el signo negativo de \(g'(x)\) cuando la expresión interior es decreciente, como en \(\sqrt{25-x}\).

✓ La forma correcta: La derivada de la función interior \(25-x\) es \(-1\). El signo negativo pasa al numerador, por lo que la derivada es negativa — lo que corresponde a que la función decrece.

✗ Error común: Se calcula la raíz del denominador antes de sustituir, o se sustituye el valor de \(x\) solo en el denominador y no en el numerador.

✓ La forma correcta: Hay que sustituir \(x\) tanto en el numerador (\(g'(x)\)) como en el denominador (\(g(x)\)), y solo entonces calcular la raíz y simplificar.

Fórmulas fundamentales:

• Se deriva la raíz y se multiplica por la derivada de la expresión interior.
• Para calcular \(f'(a)\): sustituimos \(a\) en el numerador y el denominador, luego calculamos la raíz.
• La expresión bajo el radical debe ser positiva en el punto considerado.