根号函数求导——链式法则的应用
根号函数在微积分的各类问题中频繁出现。对其求导需要结合基本根号导数公式与链式法则来处理根号内的表达式。本页将理解公式背后的逻辑，并练习求某点处的导数值。
背景与基本定义
根号本质上是二分之一次幂：\(\sqrt{x}=x^{1/2}\)。因此基本导数公式为：
\[ \big(\sqrt{x}\big)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]当根号内有完整的表达式时，需使用链式法则：外层函数为根号，内层函数为表达式 \(g(x)\)。得到通用公式：
\[ \big(\sqrt{g(x)}\big)' = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}} \]直觉解释：照常对根号求导（得 \(\tfrac{1}{2\sqrt{\;}}\)），再乘以「内层导数」\(g'(x)\)，与所有复合函数的处理方式相同。
常用公式：\((ax+b)'=a\) 和 \((x^2+c)'=2x\)。求某点处的导数值——先求导数表达式，代入 \(x\)，最后计算分母中的根号。
基本导数公式表：
| 函数 | 导数 | 函数 | 导数 |
|---|---|---|---|
| \(x^t\) | \(t\cdot x^{t-1}\) | \(\frac{1}{x}\) | \(-\frac{1}{x^2}\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(a^x\) | \(a^x\cdot \ln\,a\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\tan x\) | \(\frac{1}{\cos^2 x}\) | \(\log_a x\) | \(\frac{1}{x\cdot \ln\,a}\) |
其中 \(t\) 为实数。求导法则：乘积 \([f\cdot g]'=f'g+fg'\)；商 \(\left[\frac{f}{g}\right]'=\frac{f'g-fg'}{[g]^2}\)；复合函数（链式）\([f(u(x))]'=f'(u)\cdot u'(x)\)。
解题步骤
- 第一步——识别根号内的表达式，它就是内层函数 \(g(x)\)。
- 第二步——对内层函数求导，得到 \(g'(x)\)。
- 第三步——按公式写出导数 \(\dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}\)。
- 第四步——若求 \(f'(a)\)，将 \(a\) 代入根号内的 \(g(x)\) 和分子中的 \(g'(x)\)。
- 第五步——计算分母中的根号，化简分式。
- 第六步——验证该点处根号内的表达式为正数，否则导数在该点无定义。
例题解析
例题 1： 基本根号——求某点处的导数值
题目： 已知函数 \(f(x)=\sqrt{x}\)，求 \(f'(9)\)。
解答：
- 根号的基本导数：\(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)。
- 代入 \(x=9\)：\(f'(9)=\dfrac{1}{2\sqrt{9}}\)。
- 计算根号：\(\sqrt{9}=3\)。
- 最终：\(f'(9)=\dfrac{1}{2\cdot 3}=\dfrac{1}{6}\)。
答案： \(f'(9)=\dfrac{1}{6}\)。
例题 2： 线性表达式的根号
题目： 已知函数 \(f(x)=\sqrt{2x}\)，求 \(f'(8)\)。
解答：
- 内层函数为 \(g(x)=2x\)，故 \(g'(x)=2\)。
- 由链式法则：\(f'(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x}}\)。
- 代入 \(x=8\)：\(f'(8)=\dfrac{1}{\sqrt{2\cdot 8}}=\dfrac{1}{\sqrt{16}}\)。
- 计算：\(\sqrt{16}=4\)，故 \(f'(8)=\dfrac{1}{4}\)。
答案： \(f'(8)=\dfrac{1}{4}\)。
例题 3： 一般线性表达式的根号
题目： 已知函数 \(f(x)=\sqrt{4x+1}\)，求 \(f'(2)\)。
解答：
- 内层函数为 \(g(x)=4x+1\)，故 \(g'(x)=4\)。
- 由链式法则：\(f'(x)=\dfrac{4}{2\sqrt{4x+1}}=\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}}\)。
- 代入 \(x=2\)：\(f'(2)=\dfrac{2}{\sqrt{4\cdot 2+1}}=\dfrac{2}{\sqrt{9}}\)。
- 计算：\(\sqrt{9}=3\)，故 \(f'(2)=\dfrac{2}{3}\)。
答案： \(f'(2)=\dfrac{2}{3}\)。
例题 4： 二次表达式的根号
题目： 已知函数 \(f(x)=\sqrt{x^2+9}\)，求 \(f'(4)\)。
解答：
- 内层函数为 \(g(x)=x^2+9\)，故 \(g'(x)=2x\)。
- 由链式法则：\(f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+9}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}\)。
- 代入 \(x=4\)：\(f'(4)=\dfrac{4}{\sqrt{4^2+9}}=\dfrac{4}{\sqrt{25}}\)。
- 计算：\(\sqrt{25}=5\)，故 \(f'(4)=\dfrac{4}{5}\)。
答案： \(f'(4)=\dfrac{4}{5}\)。
例题 5： 内层函数系数为负的根号
题目： 已知函数 \(f(x)=\sqrt{25-x}\)，求 \(f'(9)\)。
解答：
- 内层函数为 \(g(x)=25-x\)，故 \(g'(x)=-1\)。
- 由链式法则：\(f'(x)=\dfrac{-1}{2\sqrt{25-x}}\)。
- 代入 \(x=9\)：\(f'(9)=\dfrac{-1}{2\sqrt{25-9}}=\dfrac{-1}{2\sqrt{16}}\)。
- 计算：\(\sqrt{16}=4\)，故 \(f'(9)=\dfrac{-1}{2\cdot 4}=-\dfrac{1}{8}\)。
- 负号合理：函数随 \(x\) 增大而递减。
答案： \(f'(9)=-\dfrac{1}{8}\)。
常见错误
✗ 常见错误： 求根号导数时不使用链式法则，写成 \(\big(\sqrt{g(x)}\big)'=\dfrac{1}{2\sqrt{g(x)}}\) 而忽略因子 \(g'(x)\)。
✓ 正确做法： 当根号内有表达式时，必须乘以内层导数：\(\dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}\)。例如 \((\sqrt{4x+1})'=\dfrac{4}{2\sqrt{4x+1}}\)。
✗ 常见错误： 忽略内层函数递减时 \(g'(x)\) 的负号，例如 \(\sqrt{25-x}\) 中。
✓ 正确做法： 内层函数 \(25-x\) 的导数为 \(-1\)。负号进入分子，导数为负——这符合函数递减的事实。
✗ 常见错误： 在代入之前就计算分母中的根号，或只在分母代入 \(x\) 而忽略分子。
✓ 正确做法： 在分子（\(g'(x)\)）和分母（\(g(x)\)）中同时代入 \(x\)，再计算根号并化简。
练习建议
- 技巧——把根号看作二分之一次幂：\(\sqrt{g}=g^{1/2}\)。这解释了 \(\tfrac{1}{2}\) 的由来以及为何根号出现在分母。
- 技巧——选取方便的点：若根号内的值恰好是完全平方数（\(4,9,16,25\)），根号结果为整数，计算简洁。
- 技巧——始终验证给定点处根号内的表达式为正数；若为零，分母为零，导数无定义。
- 技巧——导数的符号反映函数的单调性：正值表示递增，负值表示递减——可作为快速自我检验的方法。
总结与关键公式
核心公式：
\[ \big(\sqrt{x}\big)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad \big(\sqrt{g(x)}\big)' = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}} \]- 对根号求导，再乘以内层表达式的导数。
- 求 \(f'(a)\)：在分子和分母中同时代入 \(a\)，再计算根号。
- 根号内的表达式在该点处必须为正数。