שורש הוא בעצם חזקת חצי: \(\sqrt{x}=x^{1/2}\). לכן הנגזרת הבסיסית היא:

כשמתחת לשורש יש ביטוי שלם, נפעיל את כלל השרשרת: הפונקציה החיצונית היא השורש, והפנימית היא הביטוי \(g(x)\). מקבלים את הנוסחה הכללית:

האינטואיציה: גוזרים את השורש כרגיל (\(\tfrac{1}{2\sqrt{\;}}\)) ואז מכפילים ב'נגזרת הפנימי' \(g'(x)\), כמו בכל פונקציה מורכבת.

נזכיר: \((ax+b)'=a\) ו-\((x^2+c)'=2x\). לחישוב ערך הנגזרת בנקודה — מוצאים תחילה את ביטוי הנגזרת, מציבים את \(x\), ולבסוף מחשבים את השורש שבמכנה.

טבלת נגזרות בסיסיות (סימון משרד החינוך):

כאשר \(t\) ממשי. כללי הגזירה: מכפלה \([f\cdot g]'=f'g+fg'\); מנה \(\left[\frac{f}{g}\right]'=\frac{f'g-fg'}{[g]^2}\); פונקציה מורכבת (שרשרת) \([f(u(x))]'=f'(u)\cdot u'(x)\).

דוגמה 1: שורש בסיסי — נגזרת בנקודה

השאלה: נתונה הפונקציה \(f(x)=\sqrt{x}\). חשבו את \(f'(9)\).

פתרון:

1. הנגזרת הבסיסית של השורש: \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
2. נציב \(x=9\): \(f'(9)=\dfrac{1}{2\sqrt{9}}\).
3. נחשב את השורש: \(\sqrt{9}=3\).
4. נסיים: \(f'(9)=\dfrac{1}{2\cdot 3}=\dfrac{1}{6}\).

תשובה: \(f'(9)=\dfrac{1}{6}\).

דוגמה 2: שורש של ביטוי ליניארי

השאלה: נתונה הפונקציה \(f(x)=\sqrt{2x}\). חשבו את \(f'(8)\).

פתרון:

1. הפנימית היא \(g(x)=2x\), ולכן \(g'(x)=2\).
2. לפי כלל השרשרת: \(f'(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x}}\).
3. נציב \(x=8\): \(f'(8)=\dfrac{1}{\sqrt{2\cdot 8}}=\dfrac{1}{\sqrt{16}}\).
4. נחשב: \(\sqrt{16}=4\), ולכן \(f'(8)=\dfrac{1}{4}\).

תשובה: \(f'(8)=\dfrac{1}{4}\).

דוגמה 3: שורש של ביטוי ליניארי כללי

השאלה: נתונה הפונקציה \(f(x)=\sqrt{4x+1}\). חשבו את \(f'(2)\).

פתרון:

1. הפנימית היא \(g(x)=4x+1\), ולכן \(g'(x)=4\).
2. לפי כלל השרשרת: \(f'(x)=\dfrac{4}{2\sqrt{4x+1}}=\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}}\).
3. נציב \(x=2\): \(f'(2)=\dfrac{2}{\sqrt{4\cdot 2+1}}=\dfrac{2}{\sqrt{9}}\).
4. נחשב: \(\sqrt{9}=3\), ולכן \(f'(2)=\dfrac{2}{3}\).

תשובה: \(f'(2)=\dfrac{2}{3}\).

דוגמה 4: שורש של ביטוי ריבועי

השאלה: נתונה הפונקציה \(f(x)=\sqrt{x^2+9}\). חשבו את \(f'(4)\).

פתרון:

1. הפנימית היא \(g(x)=x^2+9\), ולכן \(g'(x)=2x\).
2. לפי כלל השרשרת: \(f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+9}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}\).
3. נציב \(x=4\): \(f'(4)=\dfrac{4}{\sqrt{4^2+9}}=\dfrac{4}{\sqrt{25}}\).
4. נחשב: \(\sqrt{25}=5\), ולכן \(f'(4)=\dfrac{4}{5}\).

תשובה: \(f'(4)=\dfrac{4}{5}\).

דוגמה 5: שורש עם מקדם שלילי לפנימי

השאלה: נתונה הפונקציה \(f(x)=\sqrt{25-x}\). חשבו את \(f'(9)\).

פתרון:

1. הפנימית היא \(g(x)=25-x\), ולכן \(g'(x)=-1\).
2. לפי כלל השרשרת: \(f'(x)=\dfrac{-1}{2\sqrt{25-x}}\).
3. נציב \(x=9\): \(f'(9)=\dfrac{-1}{2\sqrt{25-9}}=\dfrac{-1}{2\sqrt{16}}\).
4. נחשב: \(\sqrt{16}=4\), ולכן \(f'(9)=\dfrac{-1}{2\cdot 4}=-\dfrac{1}{8}\).
5. הסימן השלילי הגיוני: הפונקציה יורדת כאשר \(x\) גדל.

תשובה: \(f'(9)=-\dfrac{1}{8}\).

✗ טעות נפוצה: גוזרים את השורש בלי כלל השרשרת וכותבים \(\big(\sqrt{g(x)}\big)'=\dfrac{1}{2\sqrt{g(x)}}\) בלי הכופל \(g'(x)\).

✓ הדרך הנכונה: כשמתחת לשורש יש ביטוי, חובה להכפיל בנגזרת הפנימי: \(\dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}\). למשל \((\sqrt{4x+1})'=\dfrac{4}{2\sqrt{4x+1}}\).

✗ טעות נפוצה: שוכחים את הסימן השלילי של \(g'(x)\) כאשר הביטוי הפנימי יורד, למשל ב-\(\sqrt{25-x}\).

✓ הדרך הנכונה: נגזרת הפנימי \(25-x\) היא \(-1\). הסימן השלילי עובר למונה, ולכן הנגזרת שלילית — מה שמתאים לכך שהפונקציה יורדת.

✗ טעות נפוצה: מחשבים את השורש שבמכנה לפני ההצבה, או מציבים את ערך \(x\) רק במכנה ולא במונה.

✓ הדרך הנכונה: מציבים את \(x\) גם במונה (\(g'(x)\)) וגם במכנה (\(g(x)\)), ורק אז מחשבים את השורש ומפשטים.

הנוסחאות המרכזיות:

• גוזרים את השורש ומכפילים בנגזרת הביטוי הפנימי.
• לחישוב \(f'(a)\): מציבים את \(a\) במונה ובמכנה, ואז מחשבים את השורש.
• הביטוי שמתחת לשורש חייב להיות חיובי בנקודה.