Une racine carrée est en réalité une puissance d'exposant un demi : \(\sqrt{x}=x^{1/2}\). La dérivée de base est donc :

Lorsque l'expression placée sous la racine est une fonction \(g(x)\), on applique la règle de la chaîne : la fonction extérieure est la racine et la fonction intérieure est \(g(x)\). On obtient la formule générale :

Intuition : on dérive la racine normalement (\(\tfrac{1}{2\sqrt{\;}}\)) puis on multiplie par la « dérivée de l'intérieure » \(g'(x)\), comme pour toute fonction composée.

Rappel : \((ax+b)'=a\) et \((x^2+c)'=2x\). Pour calculer la dérivée en un point, on détermine d'abord l'expression de la dérivée, on substitue la valeur de \(x\), puis on calcule la racine au dénominateur.

Table des dérivées usuelles :

où \(t\) est réel. Règles de dérivation : produit \([f\cdot g]'=f'g+fg'\) ; quotient \(\left[\frac{f}{g}\right]'=\frac{f'g-fg'}{[g]^2}\) ; fonction composée (chaîne) \([f(u(x))]'=f'(u)\cdot u'(x)\).

Exemple 1 : Racine de base — dérivée en un point

Énoncé : Soit la fonction \(f(x)=\sqrt{x}\). Calculer \(f'(9)\).

Solution :

1. Dérivée de base de la racine : \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
2. Substituer \(x=9\) : \(f'(9)=\dfrac{1}{2\sqrt{9}}\).
3. Calculer la racine : \(\sqrt{9}=3\).
4. Conclure : \(f'(9)=\dfrac{1}{2\cdot 3}=\dfrac{1}{6}\).

Réponse : \(f'(9)=\dfrac{1}{6}\).

Exemple 2 : Racine d'une expression linéaire

Énoncé : Soit la fonction \(f(x)=\sqrt{2x}\). Calculer \(f'(8)\).

Solution :

1. L'intérieure est \(g(x)=2x\), donc \(g'(x)=2\).
2. Règle de la chaîne : \(f'(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x}}\).
3. Substituer \(x=8\) : \(f'(8)=\dfrac{1}{\sqrt{2\cdot 8}}=\dfrac{1}{\sqrt{16}}\).
4. Calculer : \(\sqrt{16}=4\), donc \(f'(8)=\dfrac{1}{4}\).

Réponse : \(f'(8)=\dfrac{1}{4}\).

Exemple 3 : Racine d'une expression linéaire générale

Énoncé : Soit la fonction \(f(x)=\sqrt{4x+1}\). Calculer \(f'(2)\).

Solution :

1. L'intérieure est \(g(x)=4x+1\), donc \(g'(x)=4\).
2. Règle de la chaîne : \(f'(x)=\dfrac{4}{2\sqrt{4x+1}}=\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}}\).
3. Substituer \(x=2\) : \(f'(2)=\dfrac{2}{\sqrt{4\cdot 2+1}}=\dfrac{2}{\sqrt{9}}\).
4. Calculer : \(\sqrt{9}=3\), donc \(f'(2)=\dfrac{2}{3}\).

Réponse : \(f'(2)=\dfrac{2}{3}\).

Exemple 4 : Racine d'une expression du second degré

Énoncé : Soit la fonction \(f(x)=\sqrt{x^2+9}\). Calculer \(f'(4)\).

Solution :

1. L'intérieure est \(g(x)=x^2+9\), donc \(g'(x)=2x\).
2. Règle de la chaîne : \(f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+9}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}\).
3. Substituer \(x=4\) : \(f'(4)=\dfrac{4}{\sqrt{4^2+9}}=\dfrac{4}{\sqrt{25}}\).
4. Calculer : \(\sqrt{25}=5\), donc \(f'(4)=\dfrac{4}{5}\).

Réponse : \(f'(4)=\dfrac{4}{5}\).

Exemple 5 : Racine avec coefficient négatif à l'intérieure

Énoncé : Soit la fonction \(f(x)=\sqrt{25-x}\). Calculer \(f'(9)\).

Solution :

1. L'intérieure est \(g(x)=25-x\), donc \(g'(x)=-1\).
2. Règle de la chaîne : \(f'(x)=\dfrac{-1}{2\sqrt{25-x}}\).
3. Substituer \(x=9\) : \(f'(9)=\dfrac{-1}{2\sqrt{25-9}}=\dfrac{-1}{2\sqrt{16}}\).
4. Calculer : \(\sqrt{16}=4\), donc \(f'(9)=\dfrac{-1}{2\cdot 4}=-\dfrac{1}{8}\).
5. Le signe négatif est cohérent : la fonction est décroissante quand \(x\) augmente.

Réponse : \(f'(9)=-\dfrac{1}{8}\).

✗ Erreur fréquente : On dérive la racine sans appliquer la règle de la chaîne et on écrit \(\big(\sqrt{g(x)}\big)'=\dfrac{1}{2\sqrt{g(x)}}\) sans le facteur \(g'(x)\).

✓ La bonne méthode : Lorsque l'expression sous la racine est une fonction de \(x\), il est obligatoire de multiplier par la dérivée de l'intérieure : \(\dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}\). Par exemple \((\sqrt{4x+1})'=\dfrac{4}{2\sqrt{4x+1}}\).

✗ Erreur fréquente : On oublie le signe négatif de \(g'(x)\) quand l'expression intérieure est décroissante, par exemple dans \(\sqrt{25-x}\).

✓ La bonne méthode : La dérivée de l'intérieure \(25-x\) est \(-1\). Ce signe négatif remonte au numérateur, rendant la dérivée négative — ce qui est cohérent avec le fait que la fonction est décroissante.

✗ Erreur fréquente : On calcule la racine au dénominateur avant la substitution, ou on substitue \(x\) uniquement au dénominateur sans le faire au numérateur.

✓ La bonne méthode : On substitue \(x\) à la fois au numérateur (\(g'(x)\)) et au dénominateur (\(g(x)\)), puis seulement on calcule la racine et on simplifie.

Formules essentielles :

• On dérive la racine et on multiplie par la dérivée de l'expression intérieure.
• Pour calculer \(f'(a)\) : substituer \(a\) au numérateur et au dénominateur, puis calculer la racine.
• L'expression sous la racine doit être strictement positive en ce point.