الجذر هو في حقيقته أس نصفي: \(\sqrt{x}=x^{1/2}\). لذا المشتقة الأساسية هي:

حين يوجد تحت الجذر تعبير كامل، نطبق قاعدة السلسلة: الدالة الخارجية هي الجذر، والداخلية هي التعبير \(g(x)\). نحصل على الصيغة العامة:

الحدس: نشتق الجذر كالعادة (\(\tfrac{1}{2\sqrt{\;}}\)) ثم نضرب في 'مشتقة الداخل' \(g'(x)\)، كما في أي دالة مركبة.

نتذكر: \((ax+b)'=a\) و\((x^2+c)'=2x\). لحساب قيمة المشتقة عند نقطة — نجد أولًا تعبير المشتقة، ثم نعوض \(x\)، وأخيرًا نحسب الجذر في المقام.

جدول المشتقات الأساسية:

حيث \(t\) حقيقي. قواعد الاشتقاق: الضرب \([f\cdot g]'=f'g+fg'\)؛ القسمة \(\left[\frac{f}{g}\right]'=\frac{f'g-fg'}{[g]^2}\)؛ الدالة المركبة (السلسلة) \([f(u(x))]'=f'(u)\cdot u'(x)\).

مثال 1: الجذر الأساسي — المشتقة عند نقطة

السؤال: المعطى الدالة \(f(x)=\sqrt{x}\). احسب \(f'(9)\).

الحل:

1. المشتقة الأساسية للجذر: \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
2. نعوض \(x=9\): \(f'(9)=\dfrac{1}{2\sqrt{9}}\).
3. نحسب الجذر: \(\sqrt{9}=3\).
4. ننتهي: \(f'(9)=\dfrac{1}{2\cdot 3}=\dfrac{1}{6}\).

الإجابة: \(f'(9)=\dfrac{1}{6}\).

مثال 2: جذر تعبير خطي

السؤال: المعطى الدالة \(f(x)=\sqrt{2x}\). احسب \(f'(8)\).

الحل:

1. الداخلية هي \(g(x)=2x\)، إذن \(g'(x)=2\).
2. بقاعدة السلسلة: \(f'(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x}}\).
3. نعوض \(x=8\): \(f'(8)=\dfrac{1}{\sqrt{2\cdot 8}}=\dfrac{1}{\sqrt{16}}\).
4. نحسب: \(\sqrt{16}=4\)، إذن \(f'(8)=\dfrac{1}{4}\).

الإجابة: \(f'(8)=\dfrac{1}{4}\).

مثال 3: جذر تعبير خطي عام

السؤال: المعطى الدالة \(f(x)=\sqrt{4x+1}\). احسب \(f'(2)\).

الحل:

1. الداخلية هي \(g(x)=4x+1\)، إذن \(g'(x)=4\).
2. بقاعدة السلسلة: \(f'(x)=\dfrac{4}{2\sqrt{4x+1}}=\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}}\).
3. نعوض \(x=2\): \(f'(2)=\dfrac{2}{\sqrt{4\cdot 2+1}}=\dfrac{2}{\sqrt{9}}\).
4. نحسب: \(\sqrt{9}=3\)، إذن \(f'(2)=\dfrac{2}{3}\).

الإجابة: \(f'(2)=\dfrac{2}{3}\).

مثال 4: جذر تعبير تربيعي

السؤال: المعطى الدالة \(f(x)=\sqrt{x^2+9}\). احسب \(f'(4)\).

الحل:

1. الداخلية هي \(g(x)=x^2+9\)، إذن \(g'(x)=2x\).
2. بقاعدة السلسلة: \(f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+9}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}\).
3. نعوض \(x=4\): \(f'(4)=\dfrac{4}{\sqrt{4^2+9}}=\dfrac{4}{\sqrt{25}}\).
4. نحسب: \(\sqrt{25}=5\)، إذن \(f'(4)=\dfrac{4}{5}\).

الإجابة: \(f'(4)=\dfrac{4}{5}\).

مثال 5: جذر بمعامل سالب داخلي

السؤال: المعطى الدالة \(f(x)=\sqrt{25-x}\). احسب \(f'(9)\).

الحل:

1. الداخلية هي \(g(x)=25-x\)، إذن \(g'(x)=-1\).
2. بقاعدة السلسلة: \(f'(x)=\dfrac{-1}{2\sqrt{25-x}}\).
3. نعوض \(x=9\): \(f'(9)=\dfrac{-1}{2\sqrt{25-9}}=\dfrac{-1}{2\sqrt{16}}\).
4. نحسب: \(\sqrt{16}=4\)، إذن \(f'(9)=\dfrac{-1}{2\cdot 4}=-\dfrac{1}{8}\).
5. الإشارة السالبة منطقية: الدالة تتناقص مع ازدياد \(x\).

الإجابة: \(f'(9)=-\dfrac{1}{8}\).

✗ خطأ شائع: اشتقاق الجذر دون قاعدة السلسلة وكتابة \(\big(\sqrt{g(x)}\big)'=\dfrac{1}{2\sqrt{g(x)}}\) بدون الضرب في \(g'(x)\).

✓ الطريقة الصحيحة: عندما يوجد تعبير تحت الجذر، يجب الضرب في مشتقة الداخل: \(\dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}\). مثلاً \((\sqrt{4x+1})'=\dfrac{4}{2\sqrt{4x+1}}\).

✗ خطأ شائع: نسيان الإشارة السالبة لـ\(g'(x)\) حين يكون التعبير الداخلي متناقصًا، كما في \(\sqrt{25-x}\).

✓ الطريقة الصحيحة: مشتقة الداخل \(25-x\) هي \(-1\). الإشارة السالبة تنتقل إلى البسط، فتكون المشتقة سالبة — وهذا يتوافق مع كون الدالة متناقصة.

✗ خطأ شائع: حساب الجذر في المقام قبل التعويض، أو تعويض قيمة \(x\) في المقام فقط دون البسط.

✓ الطريقة الصحيحة: نعوض \(x\) في كل من البسط (\(g'(x)\)) والمقام (\(g(x)\))، ثم نحسب الجذر ونبسّط.

الصيغتان الأساسيتان:

• نشتق الجذر ونضرب في مشتقة التعبير الداخلي.
• لحساب \(f'(a)\): نعوض \(a\) في البسط والمقام، ثم نحسب الجذر.
• يجب أن يكون التعبير تحت الجذر موجبًا عند النقطة.