La ley de cosenos relaciona los tres lados de cualquier triángulo con uno de sus ángulos:

donde \(C\) es el ángulo opuesto al lado \(c\), y \(a, b\) son los lados que lo contienen. De forma simétrica se cumple también:

Intuición: cuando \(C = 90^\circ\) se tiene \(\cos(90^\circ)=0\) y la fórmula se reduce a \(c^2 = a^2 + b^2\) — exactamente el teorema de Pitágoras. El término \(-2ab\cos(C)\) es la «corrección» para ángulos no rectos.

¿Cuándo se usa?

• Conocidos dos lados y el ángulo entre ellos (L.Á.L) — se busca el tercer lado.
• Conocidos los tres lados (L.L.L) — se busca un ángulo.

Para hallar un ángulo se despeja el coseno de la fórmula:

Si \(\cos(C)\) resulta negativo, el ángulo \(C\) es obtuso (mayor de \(90^\circ\)); si es positivo, es agudo.

Ejemplo 1: Hallar un lado dados dos lados y el ángulo entre ellos

Enunciado: En el triángulo \(ABC\) se da \(a = 7\) cm, \(b = 5\) cm y el ángulo entre ellos \(C = 60^\circ\). Halla el lado \(c\).

Solución:

1. Usamos \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\).
2. Sustituimos: \(c^2 = 7^2 + 5^2 - 2\cdot 7\cdot 5\cdot\cos(60^\circ)\).
3. Recordamos que \(\cos(60^\circ) = 0.5\), luego \(c^2 = 49 + 25 - 70\cdot 0.5 = 74 - 35 = 39\).
4. Extraemos la raíz: \(c = \sqrt{39} \approx 6.24\) cm.

Respuesta: \(c = \sqrt{39} \approx 6.24\) cm.

Ejemplo 2: Hallar un ángulo dados los tres lados

Enunciado: En el triángulo con lados \(a = 6\), \(b = 8\), \(c = 12\), halla el ángulo \(C\) (opuesto al lado \(c = 12\)).

Solución:

1. Despejamos el coseno: \(\cos(C) = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\).
2. Sustituimos: \(\cos(C) = \dfrac{6^2 + 8^2 - 12^2}{2\cdot 6\cdot 8} = \dfrac{36 + 64 - 144}{96}\).
3. Calculamos el numerador: \(36 + 64 - 144 = -44\), luego \(\cos(C) = \dfrac{-44}{96} \approx -0.4583\).
4. El coseno es negativo, por lo que el ángulo es obtuso: \(C = \cos^{-1}(-0.4583) \approx 117.3^\circ\).

Respuesta: \(C \approx 117.3^\circ\) (ángulo obtuso).

Ejemplo 3: Problema aplicado — distancia entre dos caminos

Enunciado: Dos caminos parten del mismo punto y forman un ángulo de \(120^\circ\). Una persona avanza \(10\) km por un camino y otra avanza \(14\) km por el otro. ¿Cuál es la distancia entre ellas?

Solución:

1. La distancia \(d\) es el lado opuesto al ángulo \(120^\circ\), y los lados que lo contienen son \(10\) y \(14\).
2. Usamos \(d^2 = 10^2 + 14^2 - 2\cdot 10\cdot 14\cdot\cos(120^\circ)\).
3. Recordamos que \(\cos(120^\circ) = -0.5\), luego \(d^2 = 100 + 196 - 280\cdot(-0.5) = 296 + 140 = 436\).
4. Extraemos la raíz: \(d = \sqrt{436} \approx 20.88\) km.

Respuesta: La distancia es \(\sqrt{436} \approx 20.88\) km.

Ejemplo 4: Verificar que un ángulo es recto

Enunciado: En el triángulo con lados \(a = 9\), \(b = 12\), \(c = 15\), halla el ángulo \(C\) opuesto al lado \(c\).

Solución:

1. Sustituimos en la fórmula del ángulo: \(\cos(C) = \dfrac{9^2 + 12^2 - 15^2}{2\cdot 9\cdot 12}\).
2. El numerador: \(81 + 144 - 225 = 0\).
3. Por tanto \(\cos(C) = \dfrac{0}{216} = 0\), y entonces \(C = \cos^{-1}(0) = 90^\circ\).
4. Es una confirmación elegante: \(9\text{-}12\text{-}15\) es el doble de \(3\text{-}4\text{-}5\), y el triángulo es efectivamente rectángulo.

Respuesta: \(C = 90^\circ\) — el triángulo es rectángulo.

✗ Error común: Se sustituye en la fórmula un ángulo que no está comprendido entre los dos lados dados.

✓ La forma correcta: En la fórmula \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\) el ángulo \(C\) debe ser el opuesto al lado buscado \(c\), es decir, el ángulo comprendido entre \(a\) y \(b\). Relaciona siempre cada lado con su ángulo opuesto.

✗ Error común: Se olvida que el coseno de un ángulo obtuso es negativo y se cambia el signo o se «corrige».

✓ La forma correcta: Un valor negativo de \(\cos(C)\) es correcto e indica ángulo obtuso. Sustitúyelo tal cual en \(\cos^{-1}\) para obtener un ángulo entre \(90^\circ\) y \(180^\circ\).

✗ Error común: Se calcula \(2ab\cos(C)\) antes de sumar los cuadrados, olvidando el orden de las operaciones.

✓ La forma correcta: Calcula primero \(a^2 + b^2\) por separado y luego \(2ab\cos(C)\) por separado; después réstalos. Conserva el signo \(-\) delante del término con el coseno.

Fórmula: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\), donde \(C\) es el ángulo opuesto a \(c\).

• Hallar un lado (L.Á.L): sustituye los dos lados y el ángulo entre ellos, calcula y extrae la raíz.
• Hallar un ángulo (L.L.L): \(\cos(C) = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\), luego aplica \(\cos^{-1}\).
• \(\cos(C)\) negativo \(\Rightarrow\) ángulo obtuso; cero \(\Rightarrow\) recto; positivo \(\Rightarrow\) agudo.
• Cuando \(C=90^\circ\) se obtiene el teorema de Pitágoras.