משפט הקוסינוסים קושר שלוש צלעות של משולש כלשהו עם אחת מזוויותיו:

כאן \(C\) היא הזווית שמול הצלע \(c\), ו-\(a, b\) הן הצלעות הכולאות אותה. באופן סימטרי מתקיים גם:

אינטואיציה: כאשר \(C = 90^\circ\) מתקיים \(\cos(90^\circ)=0\), והנוסחה מצטמצמת ל-\(c^2 = a^2 + b^2\) — בדיוק משפט פיתגורס. האיבר \(-2ab\cos(C)\) הוא ה"תיקון" שמטפל בזווית שאינה ישרה.

מתי משתמשים?

• נתונות שתי צלעות והזווית שביניהן (צ.ז.צ) — מחפשים את הצלע השלישית.
• נתונות שלוש הצלעות (צ.צ.צ) — מחפשים זווית.

למציאת זווית מבודדים את הקוסינוס מתוך הנוסחה:

אם \(\cos(C)\) יוצא שלילי, הזווית \(C\) קהה (גדולה מ-\(90^\circ\)); אם חיובי — חדה.

דוגמה 1: מציאת צלע מתוך שתי צלעות והזווית ביניהן

השאלה: במשולש \(ABC\) נתון \(a = 7\) ס"מ, \(b = 5\) ס"מ, והזווית ביניהן \(C = 60^\circ\). מצאו את הצלע \(c\).

פתרון:

1. נשתמש ב-\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\).
2. נציב: \(c^2 = 7^2 + 5^2 - 2\cdot 7\cdot 5\cdot\cos(60^\circ)\).
3. נזכור ש-\(\cos(60^\circ) = 0.5\), לכן \(c^2 = 49 + 25 - 70\cdot 0.5 = 74 - 35 = 39\).
4. נוציא שורש: \(c = \sqrt{39} \approx 6.24\) ס"מ.

תשובה: \(c = \sqrt{39} \approx 6.24\) ס"מ.

דוגמה 2: מציאת זווית מתוך שלוש צלעות

השאלה: במשולש שצלעותיו \(a = 6\), \(b = 8\), \(c = 12\) מצאו את הזווית \(C\) (מול הצלע \(c = 12\)).

פתרון:

1. נבודד את הקוסינוס: \(\cos(C) = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\).
2. נציב: \(\cos(C) = \dfrac{6^2 + 8^2 - 12^2}{2\cdot 6\cdot 8} = \dfrac{36 + 64 - 144}{96}\).
3. נחשב את המונה: \(36 + 64 - 144 = -44\), לכן \(\cos(C) = \dfrac{-44}{96} \approx -0.4583\).
4. הקוסינוס שלילי, ולכן הזווית קהה: \(C = \cos^{-1}(-0.4583) \approx 117.3^\circ\).

תשובה: \(C \approx 117.3^\circ\) (זווית קהה).

דוגמה 3: בעיה יישומית — מרחק בין שני מסלולים

השאלה: שתי דרכים יוצאות מאותה נקודה והזווית ביניהן \(120^\circ\). הולך אחד מתקדם \(10\) ק"מ בדרך אחת, והשני \(14\) ק"מ בדרך השנייה. מה המרחק ביניהם?

פתרון:

1. המרחק \(d\) הוא הצלע מול הזווית \(120^\circ\), והצלעות הכולאות אותה הן \(10\) ו-\(14\).
2. נשתמש ב-\(d^2 = 10^2 + 14^2 - 2\cdot 10\cdot 14\cdot\cos(120^\circ)\).
3. נזכור ש-\(\cos(120^\circ) = -0.5\), לכן \(d^2 = 100 + 196 - 280\cdot(-0.5) = 296 + 140 = 436\).
4. נוציא שורש: \(d = \sqrt{436} \approx 20.88\) ק"מ.

תשובה: המרחק הוא \(\sqrt{436} \approx 20.88\) ק"מ.

דוגמה 4: בדיקה שזווית היא ישרה

השאלה: במשולש שצלעותיו \(a = 9\), \(b = 12\), \(c = 15\), מצאו את הזווית \(C\) שמול הצלע \(c\).

פתרון:

1. נציב בנוסחת הזווית: \(\cos(C) = \dfrac{9^2 + 12^2 - 15^2}{2\cdot 9\cdot 12}\).
2. המונה: \(81 + 144 - 225 = 0\).
3. לכן \(\cos(C) = \dfrac{0}{216} = 0\), ומכאן \(C = \cos^{-1}(0) = 90^\circ\).
4. זהו אישור יפה: \(9\text{-}12\text{-}15\) היא כפולה של \(3\text{-}4\text{-}5\), והמשולש אכן ישר זווית.

תשובה: \(C = 90^\circ\) — המשולש ישר זווית.

✗ טעות נפוצה: מציבים בנוסחה זווית שאינה כלואה בין שתי הצלעות הנתונות.

✓ הדרך הנכונה: בנוסחה \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\) הזווית \(C\) חייבת להיות זו שמול הצלע המבוקשת \(c\), כלומר הזווית שבין \(a\) ל-\(b\). התאימו תמיד צלע לזווית שממולה.

✗ טעות נפוצה: שוכחים שלזווית קהה הקוסינוס שלילי, ומחליפים את הסימן או "מתקנים" אותו.

✓ הדרך הנכונה: ערך שלילי של \(\cos(C)\) הוא תקין ומשמעו זווית קהה. הציבו אותו כפי שהוא ב-\(\cos^{-1}\) כדי לקבל זווית בין \(90^\circ\) ל-\(180^\circ\).

✗ טעות נפוצה: מחשבים \(2ab\cos(C)\) לפני שמחברים את הריבועים, ושוכחים את סדר פעולות החשבון.

✓ הדרך הנכונה: חשבו תחילה \(a^2 + b^2\), בנפרד את \(2ab\cos(C)\), ורק אז חסרו. שמרו על הסימן \(-\) לפני האיבר עם הקוסינוס.

הנוסחה: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\), כאשר \(C\) מול \(c\).

• מציאת צלע (צ.ז.צ): הציבו את שתי הצלעות והזווית שביניהן, חשבו, והוציאו שורש.
• מציאת זווית (צ.צ.צ): \(\cos(C) = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\), ואז \(\cos^{-1}\).
• \(\cos(C)\) שלילי \(\Rightarrow\) זווית קהה; אפס \(\Rightarrow\) ישרה; חיובי \(\Rightarrow\) חדה.
• כש-\(C=90^\circ\) מתקבל משפט פיתגורס.