La loi des cosinus relie trois côtés d'un triangle quelconque à l'un de ses angles :

Ici \(C\) est l'angle opposé au côté \(c\), et \(a, b\) sont les côtés qui l'encadrent. Par symétrie, on a aussi :

Intuition : lorsque \(C = 90^\circ\), on a \(\cos(90^\circ)=0\) et la formule se réduit à \(c^2 = a^2 + b^2\) — exactement le théorème de Pythagore. Le terme \(-2ab\cos(C)\) est la « correction » pour les angles non droits.

Quand l'utiliser ?

• Deux côtés et l'angle compris (C.A.C) — on cherche le troisième côté.
• Les trois côtés (C.C.C) — on cherche un angle.

Pour trouver un angle, on isole le cosinus :

Si \(\cos(C)\) est négatif, l'angle \(C\) est obtus (supérieur à \(90^\circ\)) ; s'il est positif, l'angle est aigu.

Exemple 1 : Trouver un côté à partir de deux côtés et de l'angle compris

Énoncé : Dans le triangle \(ABC\), on donne \(a = 7\) cm, \(b = 5\) cm et l'angle compris \(C = 60^\circ\). Trouvez le côté \(c\).

Solution :

1. On applique \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\).
2. On substitue : \(c^2 = 7^2 + 5^2 - 2\cdot 7\cdot 5\cdot\cos(60^\circ)\).
3. On rappelle que \(\cos(60^\circ) = 0{,}5\), donc \(c^2 = 49 + 25 - 70\cdot 0{,}5 = 74 - 35 = 39\).
4. On extrait la racine : \(c = \sqrt{39} \approx 6{,}24\) cm.

Réponse : \(c = \sqrt{39} \approx 6{,}24\) cm.

Exemple 2 : Trouver un angle à partir des trois côtés

Énoncé : Dans un triangle de côtés \(a = 6\), \(b = 8\), \(c = 12\), trouvez l'angle \(C\) (opposé à \(c = 12\)).

Solution :

1. On isole le cosinus : \(\cos(C) = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\).
2. On substitue : \(\cos(C) = \dfrac{6^2 + 8^2 - 12^2}{2\cdot 6\cdot 8} = \dfrac{36 + 64 - 144}{96}\).
3. On calcule le numérateur : \(36 + 64 - 144 = -44\), donc \(\cos(C) = \dfrac{-44}{96} \approx -0{,}4583\).
4. Le cosinus est négatif, donc l'angle est obtus : \(C = \cos^{-1}(-0{,}4583) \approx 117{,}3^\circ\).

Réponse : \(C \approx 117{,}3^\circ\) (angle obtus).

Exemple 3 : Problème concret — distance entre deux itinéraires

Énoncé : Deux chemins partent du même point avec un angle de \(120^\circ\) entre eux. Un marcheur avance de \(10\) km sur le premier, un autre de \(14\) km sur le second. Quelle est la distance entre eux ?

Solution :

1. La distance \(d\) est le côté opposé à l'angle \(120^\circ\), et les côtés qui l'encadrent sont \(10\) et \(14\).
2. On applique : \(d^2 = 10^2 + 14^2 - 2\cdot 10\cdot 14\cdot\cos(120^\circ)\).
3. On rappelle que \(\cos(120^\circ) = -0{,}5\), donc \(d^2 = 100 + 196 - 280\cdot(-0{,}5) = 296 + 140 = 436\).
4. On extrait la racine : \(d = \sqrt{436} \approx 20{,}88\) km.

Réponse : La distance est \(\sqrt{436} \approx 20{,}88\) km.

Exemple 4 : Vérifier qu'un angle est droit

Énoncé : Dans un triangle de côtés \(a = 9\), \(b = 12\), \(c = 15\), trouvez l'angle \(C\) opposé à \(c\).

Solution :

1. On substitue dans la formule de l'angle : \(\cos(C) = \dfrac{9^2 + 12^2 - 15^2}{2\cdot 9\cdot 12}\).
2. Le numérateur : \(81 + 144 - 225 = 0\).
3. Donc \(\cos(C) = \dfrac{0}{216} = 0\), d'où \(C = \cos^{-1}(0) = 90^\circ\).
4. Belle confirmation : \(9\text{-}12\text{-}15\) est le double de \(3\text{-}4\text{-}5\), et le triangle est bien rectangle.

Réponse : \(C = 90^\circ\) — le triangle est rectangle.

✗ Erreur fréquente : On substitue dans la formule un angle qui n'est pas compris entre les deux côtés donnés.

✓ La bonne méthode : Dans \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\), l'angle \(C\) doit être opposé au côté cherché \(c\), c'est-à-dire l'angle compris entre \(a\) et \(b\). Associez toujours un côté à l'angle qui lui est opposé.

✗ Erreur fréquente : On oublie qu'un cosinus négatif est valide pour un angle obtus et on corrige arbitrairement le signe.

✓ La bonne méthode : Une valeur négative de \(\cos(C)\) est tout à fait normale et indique un angle obtus. Substituez-la telle quelle dans \(\cos^{-1}\) pour obtenir un angle entre \(90^\circ\) et \(180^\circ\).

✗ Erreur fréquente : On calcule \(2ab\cos(C)\) avant d'additionner les carrés, en négligeant l'ordre des opérations.

✓ La bonne méthode : Calculez d'abord \(a^2 + b^2\), puis séparément \(2ab\cos(C)\), et soustrayez ensuite. Respectez le signe \(-\) devant le terme en cosinus.

Formule : \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\), où \(C\) est opposé à \(c\).

• Trouver un côté (C.A.C) : substituez les deux côtés et l'angle compris, calculez, extrayez la racine.
• Trouver un angle (C.C.C) : \(\cos(C) = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\), puis \(\cos^{-1}\).
• \(\cos(C)\) négatif \(\Rightarrow\) angle obtus ; zéro \(\Rightarrow\) droit ; positif \(\Rightarrow\) aigu.
• Quand \(C=90^\circ\), on retrouve le théorème de Pythagore.