قانون جيب التمام يربط أضلاع أي مثلث بإحدى زواياه:

هنا \(C\) هي الزاوية المقابلة للضلع \(c\)، و\(a, b\) هما الضلعان الكاملان لها. وبالتماثل يتحقق أيضاً:

الحدس: حين \(C = 90^\circ\) يكون \(\cos(90^\circ)=0\) فتختزل الصيغة إلى \(c^2 = a^2 + b^2\) — وهو بالضبط مبرهنة فيثاغورس. الحد \(-2ab\cos(C)\) هو "التصحيح" الذي يعالج الزاوية غير القائمة.

متى نستخدم القانون؟

• يُعطى ضلعان والزاوية المحصورة بينهما (ض.ز.ض) — نبحث عن الضلع الثالث.
• تُعطى الأضلاع الثلاثة (ض.ض.ض) — نبحث عن زاوية.

لإيجاد الزاوية نعزل جيب التمام من الصيغة:

إن خرج \(\cos(C)\) سالباً فالزاوية \(C\) منفرجة (أكبر من \(90^\circ\))؛ وإن خرج موجباً فهي حادة.

مثال 1: إيجاد ضلع من ضلعَين وزاوية محصورة

السؤال: في المثلث \(ABC\) أُعطي \(a = 7\) سم و\(b = 5\) سم والزاوية المحصورة بينهما \(C = 60^\circ\). أوجد الضلع \(c\).

الحل:

1. نستخدم \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\).
2. نعوِّض: \(c^2 = 7^2 + 5^2 - 2\cdot 7\cdot 5\cdot\cos(60^\circ)\).
3. نتذكر أن \(\cos(60^\circ) = 0.5\)، إذاً \(c^2 = 49 + 25 - 70\cdot 0.5 = 74 - 35 = 39\).
4. نستخرج الجذر: \(c = \sqrt{39} \approx 6.24\) سم.

الإجابة: \(c = \sqrt{39} \approx 6.24\) سم.

مثال 2: إيجاد زاوية من ثلاثة أضلاع

السؤال: في مثلث أضلاعه \(a = 6\) و\(b = 8\) و\(c = 12\) أوجد الزاوية \(C\) (المقابلة للضلع \(c = 12\)).

الحل:

1. نعزل جيب التمام: \(\cos(C) = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\).
2. نعوِّض: \(\cos(C) = \dfrac{6^2 + 8^2 - 12^2}{2\cdot 6\cdot 8} = \dfrac{36 + 64 - 144}{96}\).
3. نحسب البسط: \(36 + 64 - 144 = -44\)، إذاً \(\cos(C) = \dfrac{-44}{96} \approx -0.4583\).
4. جيب التمام سالب، إذاً الزاوية منفرجة: \(C = \cos^{-1}(-0.4583) \approx 117.3^\circ\).

الإجابة: \(C \approx 117.3^\circ\) (زاوية منفرجة).

مثال 3: مسألة تطبيقية — المسافة بين مسارَين

السؤال: طريقان ينطلقان من نقطة واحدة والزاوية بينهما \(120^\circ\). سار أحدهما \(10\) كم في طريق والآخر \(14\) كم في الطريق الآخر. ما المسافة بينهما؟

الحل:

1. المسافة \(d\) هي الضلع المقابل للزاوية \(120^\circ\)، والضلعان الكاملان لها هما \(10\) و\(14\).
2. نستخدم \(d^2 = 10^2 + 14^2 - 2\cdot 10\cdot 14\cdot\cos(120^\circ)\).
3. نتذكر أن \(\cos(120^\circ) = -0.5\)، إذاً \(d^2 = 100 + 196 - 280\cdot(-0.5) = 296 + 140 = 436\).
4. نستخرج الجذر: \(d = \sqrt{436} \approx 20.88\) كم.

الإجابة: المسافة هي \(\sqrt{436} \approx 20.88\) كم.

مثال 4: التحقق من أن زاوية قائمة

السؤال: في مثلث أضلاعه \(a = 9\) و\(b = 12\) و\(c = 15\)، أوجد الزاوية \(C\) المقابلة للضلع \(c\).

الحل:

1. نعوِّض في صيغة الزاوية: \(\cos(C) = \dfrac{9^2 + 12^2 - 15^2}{2\cdot 9\cdot 12}\).
2. البسط: \(81 + 144 - 225 = 0\).
3. إذاً \(\cos(C) = \dfrac{0}{216} = 0\)، ومنه \(C = \cos^{-1}(0) = 90^\circ\).
4. هذا تأكيد جميل: \(9\text{-}12\text{-}15\) ضعف \(3\text{-}4\text{-}5\)، والمثلث قائم الزاوية فعلاً.

الإجابة: \(C = 90^\circ\) — المثلث قائم الزاوية.

✗ خطأ شائع: يعوِّض الطالب في الصيغة بزاوية ليست محصورة بين الضلعَين المعطيَين.

✓ الطريقة الصحيحة: في الصيغة \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\) يجب أن تكون الزاوية \(C\) هي المقابلة للضلع المطلوب \(c\)، أي المحصورة بين \(a\) و\(b\). طابق دائماً كل ضلع بالزاوية المقابلة له.

✗ خطأ شائع: ينسى الطالب أن جيب تمام الزاوية المنفرجة سالب، فيغيِّر الإشارة أو يصحِّحها.

✓ الطريقة الصحيحة: القيمة السالبة لـ\(\cos(C)\) صحيحة وتعني زاوية منفرجة. عوِّض بها كما هي في \(\cos^{-1}\) لتحصل على زاوية بين \(90^\circ\) و\(180^\circ\).

✗ خطأ شائع: يحسب الطالب \(2ab\cos(C)\) قبل جمع المربعات فيُخل بترتيب العمليات.

✓ الطريقة الصحيحة: احسب أولاً \(a^2 + b^2\)، ثم في خطوة منفصلة احسب \(2ab\cos(C)\)، ثم اطرح. حافظ على الإشارة \(-\) أمام حد جيب التمام.

الصيغة: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\)، حيث \(C\) مقابل \(c\).

• إيجاد ضلع (ض.ز.ض): عوِّض بالضلعَين والزاوية المحصورة، احسب، واستخرج الجذر.
• إيجاد زاوية (ض.ض.ض): \(\cos(C) = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\)، ثم \(\cos^{-1}\).
• \(\cos(C)\) سالب \(\Rightarrow\) منفرجة؛ صفر \(\Rightarrow\) قائمة؛ موجب \(\Rightarrow\) حادة.
• عند \(C=90^\circ\) تتحول الصيغة إلى مبرهنة فيثاغورس.