余弦定理

余弦定理

余弦定理是勾股定理对一般三角形的推广——不仅限于直角三角形。它能在已知两边及夹角时求第三边，或在已知三边时求角。本页将讲解使用时机、公式本身，并通过例题练习求边与求角。

背景与基本定义

余弦定理将三角形的三条边与其中一个角联系起来：

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) \]

其中 \(C\) 是 \(c\) 对面的角，\(a, b\) 是夹住该角的两边。对称地，也有：

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A), \qquad b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(B) \]

直觉理解：当 \(C = 90^\circ\) 时，\(\cos(90^\circ)=0\)，公式化简为 \(c^2 = a^2 + b^2\)——正是勾股定理。项 \(-2ab\cos(C)\) 是处理非直角情形的「修正量」。

使用时机：

  • 已知两边及夹角（SAS）——求第三边。
  • 已知三边（SSS）——求角。

求角时，从公式中解出余弦：

\[ \cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]

若 \(\cos(C)\) 为负数，则角 \(C\) 为钝角（大于 \(90^\circ\)）；为正数则为锐角。

A B C c b a 角 C c² = a² + b² − 2ab·cos C
一般三角形：角 C 与边 c 相对

解题步骤

  1. 第一步 — 将三角形的三边标为 \(a, b, c\)，对应的角标为 \(A, B, C\)，明确各边与角的对应关系。
  2. 第二步 — 判断已知条件的类型：两边加夹角（求边），或三边（求角）。
  3. 第三步 — 求边时：代入 \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\)，其中 \(C\) 是 \(a\) 与 \(b\) 之间的夹角，最后开方。
  4. 第四步 — 求角时：解出 \(\cos(C) = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\)，再求反余弦 \(\cos^{-1}\)。
  5. 第五步 — 验证合理性：最长边对应最大角；余弦为负说明该角为钝角。

例题解析

例题 1： 由两边及夹角求第三边

题目： 在三角形 \(ABC\) 中，已知 \(a = 7\) 厘米，\(b = 5\) 厘米，夹角 \(C = 60^\circ\)，求边 \(c\)。

解答：

  1. 使用公式 \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\)。
  2. 代入：\(c^2 = 7^2 + 5^2 - 2\cdot 7\cdot 5\cdot\cos(60^\circ)\)。
  3. 由于 \(\cos(60^\circ) = 0.5\)，得 \(c^2 = 49 + 25 - 70\cdot 0.5 = 74 - 35 = 39\)。
  4. 开方：\(c = \sqrt{39} \approx 6.24\) 厘米。

答案： \(c = \sqrt{39} \approx 6.24\) 厘米。

例题 2： 由三边求角

题目： 三角形三边为 \(a = 6\)，\(b = 8\)，\(c = 12\)，求 \(c = 12\) 对面的角 \(C\)。

解答：

  1. 解出余弦：\(\cos(C) = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\)。
  2. 代入：\(\cos(C) = \dfrac{6^2 + 8^2 - 12^2}{2\cdot 6\cdot 8} = \dfrac{36 + 64 - 144}{96}\)。
  3. 计算分子：\(36 + 64 - 144 = -44\)，故 \(\cos(C) = \dfrac{-44}{96} \approx -0.4583\)。
  4. 余弦为负，角为钝角：\(C = \cos^{-1}(-0.4583) \approx 117.3^\circ\)。

答案： \(C \approx 117.3^\circ\)（钝角）。

例题 3： 实际应用——两条路径间的距离

题目： 两条路从同一点出发，夹角为 \(120^\circ\)。甲沿第一条路走了 \(10\) 千米，乙沿第二条路走了 \(14\) 千米，求两人之间的距离。

解答：

  1. 距离 \(d\) 是 \(120^\circ\) 角对面的边，夹住该角的两边为 \(10\) 和 \(14\)。
  2. 代入：\(d^2 = 10^2 + 14^2 - 2\cdot 10\cdot 14\cdot\cos(120^\circ)\)。
  3. 由于 \(\cos(120^\circ) = -0.5\)，得 \(d^2 = 100 + 196 - 280\cdot(-0.5) = 296 + 140 = 436\)。
  4. 开方：\(d = \sqrt{436} \approx 20.88\) 千米。

答案： 两人之间的距离为 \(\sqrt{436} \approx 20.88\) 千米。

例题 4： 验证直角

题目： 三角形三边为 \(a = 9\)，\(b = 12\)，\(c = 15\)，求 \(c\) 对面的角 \(C\)。

解答：

  1. 代入求角公式：\(\cos(C) = \dfrac{9^2 + 12^2 - 15^2}{2\cdot 9\cdot 12}\)。
  2. 分子：\(81 + 144 - 225 = 0\)。
  3. 因此 \(\cos(C) = \dfrac{0}{216} = 0\)，从而 \(C = \cos^{-1}(0) = 90^\circ\)。
  4. 这是一个优美的验证：\(9\text{-}12\text{-}15\) 是 \(3\text{-}4\text{-}5\) 的 3 倍，该三角形确实是直角三角形。

答案： \(C = 90^\circ\)——该三角形是直角三角形。

常见错误

✗ 常见错误： 代入的角不是两已知边的夹角。

✓ 正确做法： 在公式 \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\) 中，\(C\) 必须是所求边 \(c\) 的对角，即 \(a\) 与 \(b\) 之间的夹角。务必使边与其对角一一对应。

✗ 常见错误： 忘记钝角的余弦是负值，擅自更改符号或「纠正」它。

✓ 正确做法： \(\cos(C)\) 为负值是正常的，表示钝角。直接将其代入 \(\cos^{-1}\) 即可得到 \(90^\circ\) 到 \(180^\circ\) 之间的角。

✗ 常见错误： 先计算 \(2ab\cos(C)\) 再加平方项，忽略运算顺序。

✓ 正确做法： 先分别计算 \(a^2 + b^2\) 和 \(2ab\cos(C)\)，再相减。注意余弦项前有负号。

练习建议

  • 提示 — 若给定角为 \(90^\circ\)，其余弦值为 \(0\)，公式退化为勾股定理——这是很好的记忆方式。
  • 提示 — 常用余弦值：\(\cos(60^\circ)=0.5\)，\(\cos(120^\circ)=-0.5\)，\(\cos(90^\circ)=0\)。
  • 提示 — 验证角的类型：余弦为正→锐角，余弦为零→直角，余弦为负→钝角。
  • 提示 — 完成右边所有加减运算后再开方；过早开方会导致错误。

总结与关键公式

公式：\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\)，其中 \(C\) 是 \(c\) 的对角。

  • 求边（SAS）：代入两边及夹角，计算后开方。
  • 求角（SSS）：\(\cos(C) = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\)，再求 \(\cos^{-1}\)。
  • \(\cos(C)\) 为负 \(\Rightarrow\) 钝角；为零 \(\Rightarrow\) 直角；为正 \(\Rightarrow\) 锐角。
  • 当 \(C=90^\circ\) 时，公式化简为勾股定理。