El árbol de probabilidad describe un experimento en varias etapas: desde cada nodo salen ramas hacia cada resultado posible de la siguiente etapa, y junto a cada rama se anota su probabilidad. Un camino completo desde la raíz hasta una hoja describe un escenario completo.

Las dos reglas de oro:

• Multiplicar a lo largo de un camino: la probabilidad de un escenario completo = producto de las probabilidades de sus ramas (intersección de eventos).
• Sumar entre caminos: cuando varios escenarios distintos satisfacen la condición, se suman las probabilidades de los caminos (unión de eventos mutuamente excluyentes).

Con reposición vs. sin reposición:

• Con reposición — se devuelve el elemento extraído, por lo que la composición se mantiene. Las probabilidades en cada etapa son iguales y las etapas son independientes.
• Sin reposición — no se devuelve el elemento, por lo que la composición y el total cambian; las probabilidades en las ramas de la siguiente etapa se actualizan (probabilidad condicional).

Al calcular conviene recordar el evento complementario: \( P(\text{al menos uno}) = 1 - P(\text{ninguno}) \). Generalmente es más fácil calcular «ninguno» en un solo camino.

Ejemplo 1: Con reposición — dos extracciones iguales

Enunciado: En una urna hay \(4\) bolas rojas y \(6\) azules. Se extrae una bola, se devuelve y se extrae otra. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean rojas?

Solución:

1. En total \(10\) bolas; como se devuelve la bola, la composición se mantiene y las dos etapas son independientes.
2. Probabilidad de roja en cada extracción: \( \frac{4}{10} = 0.4 \).
3. Multiplicamos a lo largo del camino «roja \(\to\) roja»: \( 0.4 \times 0.4 = 0.16 \).
4. Es decir: \( \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{16}{100} \).

Respuesta: La probabilidad es \( 0.16 \).

Ejemplo 2: Sin reposición — la misma pregunta

Enunciado: De la misma urna (\(4\) rojas, \(6\) azules) se extraen dos bolas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas?

Solución:

1. En la primera extracción: \( \frac{4}{10} \).
2. Tras sacar una roja quedan \(3\) rojas de \(9\) bolas; en la segunda extracción: \( \frac{3}{9} \).
3. Multiplicamos a lo largo del camino: \( \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15} \).
4. En decimal: \( \frac{2}{15} \approx 0.133 \) — menor que \(0.16\) del caso con reposición, como era de esperar.

Respuesta: La probabilidad es \( \frac{2}{15} \approx 0.133 \).

Ejemplo 3: Suma de caminos — exactamente una roja

Enunciado: De la urna (\(4\) rojas, \(6\) azules) se extraen dos bolas con reposición. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente una bola roja?

Solución:

1. «Exactamente una roja» ocurre en dos caminos mutuamente excluyentes: roja-azul o azul-roja.
2. Camino roja \(\to\) azul: \( \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{10} = \frac{24}{100} \).
3. Camino azul \(\to\) roja: \( \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{24}{100} \).
4. Sumamos los caminos: \( \frac{24}{100} + \frac{24}{100} = \frac{48}{100} = 0.48 \).

Respuesta: La probabilidad es \( 0.48 \).

Ejemplo 4: Evento complementario — al menos uno

Enunciado: Se lanza un dado honesto tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el número \(6\) al menos una vez?

Solución:

1. El cálculo directo requiere sumar muchos caminos, por lo que usamos el evento complementario: «ningún \(6\)».
2. Probabilidad de no obtener \(6\) en un lanzamiento: \( \frac{5}{6} \); los lanzamientos son independientes.
3. Ningún \(6\) en tres lanzamientos: \( \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216} \).
4. Por tanto, \( P(\text{al menos uno}) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} \approx 0.421 \).

Respuesta: La probabilidad es \( \frac{91}{216} \approx 0.421 \).

Ejemplo 5: Camino de tres etapas sin reposición

Enunciado: En una caja hay \(5\) tarjetas ganadoras y \(5\) perdedoras. Se extraen tres tarjetas consecutivamente sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean ganadoras?

Solución:

1. En total \(10\) tarjetas. En cada etapa se actualizan tanto el numerador como el denominador.
2. Primera etapa: \( \frac{5}{10} \); segunda (quedan \(4\) ganadoras de \(9\)): \( \frac{4}{9} \); tercera (\(3\) de \(8\)): \( \frac{3}{8} \).
3. Multiplicamos a lo largo del camino: \( \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{60}{720} \).
4. Simplificamos: \( \frac{60}{720} = \frac{1}{12} \approx 0.083 \).

Respuesta: La probabilidad es \( \frac{1}{12} \approx 0.083 \).

✗ Error común: Se usan las mismas probabilidades en todas las etapas aunque el muestreo sea sin reposición.

✓ La forma correcta: Sin reposición, la composición cambia después de cada extracción. Actualiza tanto el numerador (cuántos quedan de ese tipo) como el denominador (cuántos elementos hay en total) en cada rama.

✗ Error común: Se suman las probabilidades a lo largo de un mismo camino en lugar de multiplicarlas.

✓ La forma correcta: A lo largo de un camino (etapa tras etapa) se multiplica, porque se trata de una intersección. La suma se reserva para caminos separados que satisfacen la misma condición.

✗ Error común: En la pregunta de «exactamente uno» se cuenta solo un camino y se olvida el orden inverso.

✓ La forma correcta: Hay que incluir todos los órdenes posibles. «Exactamente una roja» incluye tanto roja-azul como azul-roja; por tanto, hay que sumar los dos caminos.

• A lo largo de un camino: se multiplican las probabilidades de las ramas.
• Entre caminos: se suman las probabilidades de los caminos mutuamente excluyentes.
• Con reposición: probabilidades fijas, etapas independientes.
• Sin reposición: probabilidades que se actualizan (condicionales).
• Al menos uno: \( P = 1 - P(\text{ninguno}) \).
• La suma de las ramas desde cada nodo \( = 1 \).