Un arbre de probabilité décrit une expérience à plusieurs étapes : depuis chaque nœud partent des branches vers chaque résultat possible à l'étape suivante, et on inscrit à côté de chaque branche sa probabilité. Un chemin complet de la racine jusqu'à une feuille décrit un scénario complet.

Les deux règles d'or :

• Multiplication le long d'un chemin : la probabilité d'un scénario complet = produit des probabilités de ses branches (intersection d'événements).
• Addition entre chemins : quand plusieurs scénarios distincts satisfont la condition, on additionne les probabilités des chemins (union d'événements disjoints).

Avec remise vs sans remise :

• Avec remise — on remet l'objet tiré, la composition reste donc la même. Les probabilités à chaque étape sont identiques et les étapes sont indépendantes.
• Sans remise — on ne remet pas, donc la composition et le total changent, et les probabilités des branches à l'étape suivante sont mises à jour (probabilité conditionnelle).

Il est utile de connaître l'événement complémentaire : \( P(\text{au moins un}) = 1 - P(\text{aucun}) \). Il est souvent plus simple de calculer « aucun » sur un seul chemin.

Exemple 1 : Avec remise — deux tirages identiques

Énoncé : Une urne contient \(4\) boules rouges et \(6\) boules bleues. On tire une boule, on la remet, puis on tire à nouveau. Quelle est la probabilité que les deux boules soient rouges ?

Solution :

1. Il y a \(10\) boules au total, et comme on remet la boule, la composition reste la même et les deux étapes sont indépendantes.
2. Probabilité d'obtenir rouge à chaque tirage : \( \frac{4}{10} = 0{,}4 \).
3. Multiplication le long du chemin « rouge \(\to\) rouge » : \( 0{,}4 \times 0{,}4 = 0{,}16 \).
4. Soit \( \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{16}{100} \).

Réponse : La probabilité est \( 0{,}16 \).

Exemple 2 : Sans remise — même question

Énoncé : Dans la même urne (\(4\) rouges, \(6\) bleues), on tire deux boules sans remise. Quelle est la probabilité que les deux soient rouges ?

Solution :

1. Au premier tirage : \( \frac{4}{10} \).
2. Après avoir sorti une rouge, il reste \(3\) rouges sur \(9\) boules, donc au deuxième tirage : \( \frac{3}{9} \).
3. Multiplication le long du chemin : \( \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15} \).
4. En décimal : \( \frac{2}{15} \approx 0{,}133 \) — inférieur à \(0{,}16\) du cas avec remise, comme attendu.

Réponse : La probabilité est \( \frac{2}{15} \approx 0{,}133 \).

Exemple 3 : Addition de chemins — exactement une boule rouge

Énoncé : Depuis l'urne (\(4\) rouges, \(6\) bleues), on tire deux boules avec remise. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement une boule rouge ?

Solution :

1. « Exactement une rouge » se produit selon deux chemins disjoints : rouge-bleue, ou bleue-rouge.
2. Chemin rouge \(\to\) bleue : \( \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{10} = \frac{24}{100} \).
3. Chemin bleue \(\to\) rouge : \( \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{24}{100} \).
4. On additionne les chemins : \( \frac{24}{100} + \frac{24}{100} = \frac{48}{100} = 0{,}48 \).

Réponse : La probabilité est \( 0{,}48 \).

Exemple 4 : Événement complémentaire — au moins un

Énoncé : On lance un dé équilibré trois fois. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois le chiffre \(6\) ?

Solution :

1. Le calcul direct nécessite de sommer de nombreux chemins, on utilise donc le complémentaire : « jamais le \(6\) ».
2. Probabilité de ne pas obtenir \(6\) à un lancer : \( \frac{5}{6} \) ; les lancers sont indépendants.
3. Jamais \(6\) en trois lancers : \( \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216} \).
4. Donc \( P(\text{au moins un}) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} \approx 0{,}421 \).

Réponse : La probabilité est \( \frac{91}{216} \approx 0{,}421 \).

Exemple 5 : Chemin à trois étapes sans remise

Énoncé : Une boîte contient \(5\) cartes gagnantes et \(5\) cartes perdantes. On tire trois cartes l'une après l'autre sans remise. Quelle est la probabilité que les trois soient gagnantes ?

Solution :

1. Il y a \(10\) cartes au total. À chaque étape, le numérateur et le dénominateur se mettent à jour.
2. Étape 1 : \( \frac{5}{10} \) ; étape 2 (reste \(4\) gagnantes sur \(9\)) : \( \frac{4}{9} \) ; étape 3 (\(3\) sur \(8\)) : \( \frac{3}{8} \).
3. Multiplication le long du chemin : \( \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{60}{720} \).
4. Simplification : \( \frac{60}{720} = \frac{1}{12} \approx 0{,}083 \).

Réponse : La probabilité est \( \frac{1}{12} \approx 0{,}083 \).

✗ Erreur fréquente : On utilise les mêmes probabilités à toutes les étapes même quand le tirage est sans remise.

✓ La bonne méthode : Sans remise, la composition change après chaque tirage. Mettez à jour le numérateur (combien restent du type voulu) et le dénominateur (combien d'objets au total) à chaque branche.

✗ Erreur fréquente : On additionne les probabilités le long d'un même chemin au lieu de les multiplier.

✓ La bonne méthode : Le long d'un chemin (étape après étape), on multiplie, car il s'agit d'une intersection. L'addition est réservée aux chemins distincts satisfaisant la même condition.

✗ Erreur fréquente : Pour « exactement un », on ne compte qu'un seul chemin et on oublie l'ordre inverse.

✓ La bonne méthode : Il faut inclure tous les ordres possibles. « Exactement une rouge » comprend rouge-bleue et bleue-rouge ; il faut additionner les deux chemins.

• Le long d'un chemin : on multiplie les probabilités des branches.
• Entre chemins : on additionne les probabilités des chemins disjoints.
• Avec remise : probabilités fixes, étapes indépendantes.
• Sans remise : probabilités mises à jour (conditionnelles).
• Au moins un : \( P = 1 - P(\text{aucun}) \).
• Somme des branches de chaque nœud \( = 1 \).