مخطط الشجرة يصف تجربة متعددة المراحل: من كل عقدة تخرج أفرع لكل نتيجة ممكنة في المرحلة التالية، ويُكتب بجانب كل فرع احتماله. المسار الكامل من الجذر حتى الورقة يصف سيناريو متكاملًا.

قاعدتان ذهبيتان:

• الضرب على طول المسار: احتمال سيناريو كامل = حاصل ضرب احتمالات أفرعه (تقاطع الأحداث).
• الجمع بين المسارات: حين تُحقق سيناريوهات مختلفة الشرط ذاته، نجمع احتمالات تلك المسارات (اتحاد أحداث متنافية).

مع الإعادة مقابل بدون إعادة:

• مع الإعادة — يُعاد الجسيم المسحوب، فيبقى التركيب ثابتًا. الاحتمالات في كل مرحلة متساوية والمراحل مستقلة.
• بدون إعادة — لا يُعاد الجسيم، فيتغير التركيب والعدد الكلي، واحتمالات أفرع المرحلة التالية تتحدث (احتمال مشروط).

من المفيد تذكر الحدث المكمّل: \( P(\text{واحد على الأقل}) = 1 - P(\text{لا شيء}) \). في الغالب يكون حساب «لا شيء» في مسار واحد أسهل.

مثال 1: مع الإعادة — سحبتان متتاليتان

السؤال: في جرة \(4\) كرات حمراء و\(6\) زرقاء. تُسحب كرة وتُعاد، ثم تُسحب أخرى. ما احتمال أن تكون الكرتان حمراوتين؟

الحل:

1. المجموع \(10\) كرات، ولأن السحب مع الإعادة يبقى التركيب ثابتًا والسحبتان مستقلتان.
2. احتمال الحمراء في أي سحبة: \( \frac{4}{10} = 0.4 \).
3. الضرب على مسار «أحمر\(\to\)أحمر»: \( 0.4 \times 0.4 = 0.16 \).
4. أي \( \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{16}{100} \).

الإجابة: الاحتمال هو \( 0.16 \).

مثال 2: بدون إعادة — السؤال ذاته

السؤال: من الجرة ذاتها (\(4\) حمراء، \(6\) زرقاء) تُسحب كرتان بدون إعادة. ما احتمال أن تكون كلتاهما حمراوتين؟

الحل:

1. في السحبة الأولى: \( \frac{4}{10} \).
2. بعد إخراج كرة حمراء يبقى \(3\) حمراء من أصل \(9\)، فاحتمال السحبة الثانية: \( \frac{3}{9} \).
3. الضرب على المسار: \( \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15} \).
4. عشريًا: \( \frac{2}{15} \approx 0.133 \) — أقل من \(0.16\) في حالة الإعادة، كما هو متوقع.

الإجابة: الاحتمال هو \( \frac{2}{15} \approx 0.133 \).

مثال 3: جمع المسارات — كرة حمراء واحدة بالضبط

السؤال: من الجرة (\(4\) حمراء، \(6\) زرقاء) تُسحب كرتان مع الإعادة. ما احتمال الحصول على كرة حمراء واحدة بالضبط؟

الحل:

1. «كرة حمراء واحدة بالضبط» يتحقق في مسارَين متنافيَين: أحمر-أزرق، أو أزرق-أحمر.
2. مسار أحمر\(\to\)أزرق: \( \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{10} = \frac{24}{100} \).
3. مسار أزرق\(\to\)أحمر: \( \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{24}{100} \).
4. نجمع المسارَين: \( \frac{24}{100} + \frac{24}{100} = \frac{48}{100} = 0.48 \).

الإجابة: الاحتمال هو \( 0.48 \).

مثال 4: الحدث المكمّل — واحد على الأقل

السؤال: تُرمى حجر نرد نظيف ثلاث مرات. ما احتمال الحصول على الرقم \(6\) مرة واحدة على الأقل؟

الحل:

1. الحساب المباشر يستلزم جمع مسارات كثيرة، لذا نستخدم الحدث المكمّل: «لا \(6\) أبدًا».
2. احتمال عدم ظهور \(6\) في رمية واحدة: \( \frac{5}{6} \)؛ الرميات مستقلة.
3. عدم ظهور \(6\) في ثلاث رميات: \( \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216} \).
4. إذن \( P(\text{واحد على الأقل}) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} \approx 0.421 \).

الإجابة: الاحتمال هو \( \frac{91}{216} \approx 0.421 \).

مثال 5: مسار ثلاثي المراحل بدون إعادة

السؤال: في صندوق \(5\) بطاقات رابحة و\(5\) خاسرة. تُسحب ثلاث بطاقات متتاليًا بدون إعادة. ما احتمال أن تكون الثلاثة رابحة؟

الحل:

1. المجموع \(10\) بطاقات. في كل مرحلة يتحدث البسط والمقام معًا.
2. المرحلة الأولى: \( \frac{5}{10} \)؛ الثانية (بقي \(4\) رابحة من \(9\)): \( \frac{4}{9} \)؛ الثالثة (\(3\) من \(8\)): \( \frac{3}{8} \).
3. الضرب على المسار: \( \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{60}{720} \).
4. التبسيط: \( \frac{60}{720} = \frac{1}{12} \approx 0.083 \).

الإجابة: الاحتمال هو \( \frac{1}{12} \approx 0.083 \).

✗ خطأ شائع: استخدام الاحتمالات ذاتها في كل المراحل حتى عند السحب بدون إعادة.

✓ الطريقة الصحيحة: بدون إعادة يتغير التركيب بعد كل سحبة. حدِّث البسط (كم بقي من هذا النوع) والمقام (كم بطاقة بقيت إجمالًا) في كل فرع.

✗ خطأ شائع: جمع الاحتمالات على طول مسار واحد بدلًا من ضربها.

✓ الطريقة الصحيحة: على طول المسار (مرحلة بعد مرحلة) نضرب، لأنه تقاطع. الجمع محجوز للمسارات المنفصلة التي تُحقق الشرط ذاته.

✗ خطأ شائع: في مسألة «واحد بالضبط» يُحسب مسار واحد فقط وينسى المسار العكسي.

✓ الطريقة الصحيحة: يجب تضمين جميع ترتيبات الظهور. «كرة حمراء واحدة بالضبط» تشمل أحمر-أزرق وأزرق-أحمر، فيجب جمع المسارَين.

• على طول مسار: نضرب احتمالات الأفرع.
• بين المسارات: نجمع احتمالات المسارات المتنافية.
• مع الإعادة: احتمالات ثابتة، مراحل مستقلة.
• بدون إعادة: احتمالات تتحدث (مشروطة).
• واحد على الأقل: \( P = 1 - P(\text{لا شيء}) \).
• مجموع أفرع أي عقدة \( = 1 \).